Funciones continuas de $\mathbb{R}$ a $\{0,1\}$

Question

Sea $\{0,1\}$ equiparse con la topología sugerida por Scientifica en esta entrada es decir: $\tau=\{\emptyset, \{0,1\},\{0\}\}$ . ¿Cuáles son las funciones continuas de $\mathbb{R}$ a $(\{0,1\},\tau)$ ?

Answer 1

Una función es continua si la imagen inversa de todos los conjuntos abiertos son abiertos. Dado que $f^{-}(\varnothing)=\varnothing$ y $f^{-1}(\{0,1\}=\mathbb{R}$ una función $f:\mathbb{R}\to\{0,1\}$ será continua si $f^{-1}(0)$ está abierto en $\mathbb{R}$ Por lo tanto $f^{-1}(0)$ tiene que ser una unión contable de intervalos abiertos disjuntos, por lo que las únicas funciones continuas $f:\mathbb{R}\to\{0,1\}$ con esa topología son los funciones características de complementos de conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ es decir, funciones características de conjuntos cerrados en $\mathbb{R}$ es decir, funciones características de complementos de uniones disjuntas contables de intervalos abiertos.