Estoy haciendo un ejercicio para una clase sobre sistemas dinámicos. Se nos pide que clasifiquemos todas las bifurcaciones del sistema dinámico $f_c = c·\sin$ de verdad $c > 0$ .
Se nos da que las bifurcaciones de $f_c$ sólo puede producirse en los parámetros $c$ donde hay un neutro punto fijo, es decir, un punto $p $ tal que $|{f_c}’ (p)| = 1$ .
Es fácil demostrar que no hay bifurcaciones para $c < 1$ . Así que $c 1$ .
Ahora, para cualquier $p $ tenemos
- ${f_c}’(p) = 1$ sólo si $p \arccos \frac{1}{c} + 2$ y
- ${f_c}’(p) = -1$ sólo si $p \arccos \frac{-1}{c} + 2$ .
Por lo tanto, puesto que $\sin^2 \arccos x = 1 - x^2$ puntos fijos neutros $p$ de $f_c$ s $$p^2 = f_c(p)^2 = c^2·\sin^2 (\arccos \frac{\pm 1}{c}) = c^2(1 - \frac{1}{c^2}) = c^2 - 1.$$
¿Cómo puedo proceder para encontrar cuál de estos puntos $c^2 - 1$ son en realidad puntos fijos de $f_c$ es decir, cumple $c·\sin (c^2 - 1) = c^2 - 1$ y ¿cómo puedo concluir algo sobre las bifurcaciones que pueden o no producirse en estos parámetros y puntos fijos?
