Transformada de Fourier de $\exp(-t^2)$ mediante la integración de contornos.

Question

Estoy calculando la transformada de Fourier de $\exp(-t^2)$ mediante la integración de contornos.

Me queda la integral $\int_{-\infty}^\infty \exp(i\omega t)\exp(-t^2)$ .

Normalmente ahora utilizaría el teorema del residuo, pero no puedo encontrar las singularidades. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Podemos escribir

$$\exp (i\omega t)\exp(-t^2) = \exp\left(-(t-i\omega/2)^2\right)\exp\left((i\omega/2)^2\right).$$

El factor $\exp (-\omega^2/4)$ se puede sacar de la integral, y nos quedamos con

$$\int_{-\infty + i0}^{+\infty+i0} \exp \left(-(z-i\omega/2)^2\right)\,dz.$$

Utilizando el teorema de la integral de Cauchy, podemos desplazar la integración a

$$\int_{-\infty + i\omega/2}^{+\infty+i\omega/2}\exp \left(-(z-i\omega/2)^2\right)\,dz,$$

y parametrizando como $z = t + i\omega/2$ es decir

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-t^2)\,dt.$$

El desplazamiento del contorno de integración se justifica aplicando el teorema de la integral de Cauchy a un rectángulo con vértices $-R,\, R,\, R+i\omega/2,\, -R+i\omega/2$ y tomando el límite $R\to +\infty$ .