Una pastelería vende 4 tipos de pasteles. ¿Cuántos juegos distintos de 7 pasteles se pueden comprar?

Question

HE VISTO estrellas y barras referencia de esta suma. Pero todavía no lo entiendo.

No entiendo si es permutación o combinación.

He hecho la suma de esta manera. Todos los arreglos

C1 C2 C3 C4

7 0 0 0. = 4p1 (de 4 pasteles elegir uno)

5 2 0 0. = 4p2 (de 4 pasteles elegir dos)

6 1 0 0 = 4p2 (de 4 pasteles eligiendo 2)

5 1 1 0= 4p3

4 2 1 0 = 4p3

4 1 1 1= 4p4

3 3 1 0= 4p3

3 2 2 0 = 4p3

3 2 1 1 = 4p4

2 2 2 1 = 4p4

La suma de todas ellas me dará la respuesta correcta.

Answer 1

El problema que ha planteado es un problema de combinación. Esto se debe a que el orden en que se disponen los pasteles no asunto. Ahora supongamos que tuvieras que dar $7$ pasteles a $7$ niños diferentes. Aquí el orden hace materia como para el mismo conjunto de pasteles, cada niño puede obtener diferentes arreglos. Podrías intercambiar los pasteles de dos niños manteniendo el mismo número de pasteles elegidos. El segundo problema es el de las permutaciones. Los dos problemas requieren enfoques diferentes para resolverlos.

Sea $a, b, c, d$ denotan el $4$ tipos de pastelería. La solución a su problema sería el número de soluciones de números enteros para esta ecuación- $$a+b+c+d=7$$ Piénsalo un momento. Esto equivale al problema de las estrellas y las barras. Te dejo que calcules el número de soluciones de esta ecuación.

$C={{7+4-1}\choose {4-1}}={10\choose 3}=\frac {10!}{7!\cdot3!}$

Ahora, para el problema de permutaciones, cada niño puede obtener cualquiera de las $4$ pasteles. Por lo tanto, para cada chico, tienes $4$ opciones. Por lo tanto, las permutaciones serán $P=4\times 4\times4 \cdots \text{7 times}=4^7$

Answer 2

Se trata de una combinación de varios casos.
Caso I : Usted compra sólo un tipo de pastelería en $4\choose1$ maneras.

Caso II : Usted compra sólo dos tipos de pasteles. Elige dos tipos de bollería en $4\choose 2$ maneras.
En segundo lugar, puede comprar $(1,6),(2,5)...$ pasteles para conseguir un total de siete en ${7-1}\choose{2-1}$ formas. [¿Sabes por qué escribimos ${7-1}\choose{2-1}$ ?]

Caso III : Compre tres tipos de pasteles en $4\choose 3$ maneras. Comprar $(1,1,5),(1,2,4)...$ pasteles en ${7-1}\choose{3-1}$ maneras.

Caso IV : Compra los cuatro tipos de una sola vez. Comprar $(1,1,1,4),(1,1,2,3)...$ pasteles en ${7-1}\choose{4-1}$ maneras.

Número total de vías = ${4\choose{1}}+{4\choose2}\cdot{6\choose1}+{4\choose3}\cdot{6\choose2}+1\cdot{6\choose3}=120$ vías

Answer 3

Lo que importa aquí es cuántos pasteles de cada tipo se seleccionan. Seleccionar tres tartas de nueces, dos strudel de manzana, un cruasán y una baklava es diferente de seleccionar cuatro baklava, dos strudel de manzana y una tarta de nueces.

Rotulemos los tipos de bollería 1, 2, 3 y 4. Sea $x_i$ , $1 \leq i \leq 4$ sea el número de pasteles de tipo $i$ que se seleccionan. Dado que se seleccionan un total de siete pasteles de los cuatro tipos, $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7 \tag{1}$$ El número de formas en que se pueden seleccionar los pasteles es el número de soluciones de la ecuación 1 en los enteros no negativos. Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la colocación de tres signos de suma en una fila de siete unos. Por ejemplo, $$1 1 + 1 1 1 + 1 + 1$$ corresponde a la solución $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ , $x_3 = 1$ , $x_4 = 1$ mientras que $$1 + + 1 1 1 1 + 1 1$$ corresponde a la solución $x_1 = 1$ , $x_2 = 0$ , $x_3 = 4$ , $x_4 = 2$ .

El número de soluciones de la ecuación 1 en los enteros no negativos es el número de formas $4 - 1 = 3$ pueden colocarse en una fila de $7$ que es $$\binom{7 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{10}{3}$$ ya que debemos seleccionar qué tres de las diez posiciones necesarias para siete unos y tres signos de suma se llenarán con signos de suma.

¿Qué falló en tu intento?

Las particiones de $7$ en un máximo de cuatro partes son \begin{align*} 7 & = 7\\ & = 6 + 1\\ & = 5 + 2\\ & = 5 + 1 + 1\\ & = 4 + 3\\ & = 4 + 2 + 1\\ & = 4 + 1 + 1 + 1\\ & = 3 + 3 + 1\\ & = 3 + 2 + 2\\ & = 3 + 2 + 1 + 1\\ & = 2 + 2 + 2 + 1 \end{align*}

Sus recuentos son correctos para los casos en que se selecciona un número diferente de cada tipo de pastelería. Sin embargo, son incorrectos cuando se selecciona el mismo número de pasteles de dos o más tipos.

$5 + 1 + 1$ : Hay cuatro formas de seleccionar el tipo de pastelería de entre las que se seleccionarán cinco piezas de pastelería. Hay $\binom{3}{2}$ formas de seleccionar los dos tipos de hojaldre de los que se seleccionará una pieza de hojaldre cada uno. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{1}\binom{3}{2}$$ tales selecciones.

$3 + 3 + 1$ : Hay $\binom{4}{2}$ formas de seleccionar los dos tipos de pastelería de los que se extraerán tres piezas de pastelería y dos formas de seleccionar el tipo de pastelería del que se extraerá una pieza de pastelería. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{2}\binom{2}{1}$$ tales selecciones.

Observe que $$\binom{4}{1}\binom{3}{2} = \binom{4}{2}\binom{2}{1}$$ Esto se debe a que tanto en el $5 + 1 + 1$ caso y el $3 + 3 + 1$ caso, hay tres tipos de pastelería dibujados, con cantidades iguales de exactamente dos de ellos. Podríamos haber hecho el $3 + 3 + 1$ seleccionando en primer lugar el tipo de pastelería del que se extraerá un trozo de pastelería y, a continuación, seleccionando de qué dos de los tres tipos de pastelería se extraerán tres trozos de pastelería cada uno, lo que habría dado como resultado el recuento $$\binom{4}{3}\binom{3}{2}$$

$3 + 2 + 2$ : El argumento anterior demuestra que también hay $$\binom{4}{1}\binom{3}{2}$$ estos casos.

$4 + 1 + 1 + 1$ : Hay cuatro formas de seleccionar el tipo de pastelería del que se seleccionarán cuatro piezas. Debemos seleccionar uno de cada uno de los otros tipos. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{1}$$ tales selecciones.

$2 + 2 + 2 + 1$ : Hay cuatro formas de seleccionar el tipo de pasta del que se elegirá una pieza. Debemos seleccionar dos piezas de cada uno de los tipos de pastelería restantes. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{1}$$ tales selecciones.

$3 + 2 + 1 + 1$ : Hay cuatro formas de seleccionar el tipo de masa del que se extraerán tres piezas y tres formas de seleccionar el tipo de masa del que se extraerán dos piezas. Debemos seleccionar una pieza de cada uno de los tipos de pastelería restantes. Por lo tanto, hay $$\binom{4}{1}\binom{3}{1}$$ tales selecciones.

Con estas correcciones, obtenemos un total de $$\binom{4}{1} + \binom{4}{1}\binom{3}{1} + \binom{4}{1}\binom{3}{1} + \binom{4}{1}\binom{3}{2} + \binom{4}{1}\binom{3}{1} + \binom{4}{1}\binom{3}{1}\binom{2}{1} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2}\binom{2}{1} + \binom{4}{1}\binom{3}{2} + \binom{4}{1}\binom{3}{1} + \binom{4}{1} = \binom{10}{3}$$ formas de seleccionar siete pasteles de cuatro tipos.

¿De qué tipo de problema se trata?

Se trata de un combinación con repetición problema ya que estamos seleccionando $k$ objetos de $n$ tipos de objetos, donde podemos tomar el mismo tipo de objeto repetidamente.