Dados los estadísticos de orden hallar la probabilidad de que la mediana se encuentre entre a $X_{(2)}$ y $X_{(7)}$

Question

Dada una muestra $X_{(1)},...,X_{(8)}$ a partir de una distribución continua hallar el $P(X_{(2)} < m < X_{(7)})$ donde $m$ es la mediana de la población.

Mis preguntas iniciales son

¿Necesito hacer uso de $P(X \le m) \ge \frac{1}{2}$ y $\, P(X \ge m) \ge \frac{1}{2}$ donde $X$ es una variable aleatoria de esta distribución.

¿Sería algo parecido a $\displaystyle \int_{-\infty}^m\int_{m}^\infty f_{X_{(2)},X_{(7)}}(y,z)dydz$ ?

Dónde $f_{X_{(2)},X_{(7)}}(y,z) = \frac{8!}{4!}f(y)f(z)[F(y)][F(z)-F(y)]^4[1-F(z)]$

Answer 1

Si $X_{(2)} < m < X_{(7)}$ no es el caso, entonces $m \leq X_{(2)}$ o $X_{(7)} \leq m$ .

$$P(X_{(2)} < m < X_{(7)}) = 1 - P(m \leq X_{(2)}) - P(X_{(7)} \leq m)$$

El número de sorteos que están por debajo de $m$ sigue una distribución binomial $n=8$ y $p=1/2$ así:

$$\begin{align} P(m \leq X_{(2)}) = P(X_{(7)} \leq m) &= 2^{-8}{8 \choose 0} + 2^{-8}{8 \choose 1} \\ &= 9\cdot 2^{-8} \end{align}$$

En conclusión: $$\begin{align} P(X_{(2)} < m < X_{(7)}) &= 1 - 9\cdot2^{-8} - 9\cdot2^{-8} \\ &= \frac{238}{256} \end{align}$$