¿Existe el siguiente límite (utilizando el teorema de representación de Riesz)

Question

Tengo problemas para entender cómo empezar esta pregunta. ¿Encontramos alfa? ¿Y después qué?

Answer 1

Expondré alguna idea para la solución : Obsérvese que $\alpha_n$ tiene una variación acotada por lo que tenemos $$ F_n(f):= \int_0^1 f(x)d\alpha_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=2}^n f(\log_n k) $$

Tenga en cuenta que $$ \alpha_n\rightarrow \alpha,\ \alpha(x)=0\ (0\leq x< 1),\ \alpha (1)=1$$

Así que $$ F(f)=\int_0^1 f d\alpha =f(1) $$