Más allá de la trisección de ángulos: Construir polígonos regulares dividiendo los ángulos en 5, 7, 11, (etcétera) partes iguales.

Question

He leído un papel de Andrew Gleason, donde se le ocurrió una forma de construir heptágonos y tridecágonos utilizando la trisección de ángulos como complemento del compás y la regla habituales. Este puesto cuestiona la capacidad de utilizar la quintisección de ángulos (división en cinco) para construir un undecágono (11 lados).

Gleason también mencionó que un 19-gon (eneadecágono) requiere 2 trisecciones de ángulos para construirlo usando compás/recta/trisector, ya que $18=2*3^2$ y el 3 se eleva a la potencia de dos. Mis preguntas son las siguientes:

1. Dado un círculo de radio $19-1=18$ ¿cómo se procedería a la construcción? Parece que no puedo seguir a lo largo de Gleason en sus métodos y estoy totalmente perdido más allá de la construcción de $\sqrt{19}$ . ¿Podría alguien ayudarme a elaborar una construcción?

2. Además de brújula y regla, ¿significa esto:

   a. ¿Se puede construir un 41-gon regular con una quintisección angular? $41-1=2^3*5$

   b. ¿Se puede construir un 61-gon regular con una trisección angular y una quintisección? $61-1=2^2*3*5$

   c. ¿Un 101-gon con dos quintisecciones? $101-1=2^2*5^2$

   d. ¿Un 433-gon con tres trisecciones? $433-1=2^4*3^3$

Quintisección, heptasección, etc. puede hacerse con una espiral de Arquímedes. Entonces, si las afirmaciones anteriores son ciertas, se puede construir un polígono regular con cualquier número de lados incluso sin "hacer trampas" (utilizando la espiral para construir 360/n). Un 89-gon se puede construir utilizando 1 ángulo de undecasección (dividiendo en 11 partes iguales), un 331-gon / 661-gon / 1321-gon se pueden construir con una trisección / quintisección / undecasección, etcétera.

Mi objetivo es utilizar los principios de Gleason para idear una forma de construir un 433-gon utilizando compás, regla y trisector de ángulos. Sería extremadamente largo, pero me gustaría verlo resuelto.

Answer 1

1)) Gleason escribió, que aunque el Teorema 2 nos dice que el triskaidecágono regular se puede construir usando una trisección angular y hay muchas maneras de proceder, pero ninguna parece geométricamente perspicua. Pero, como el eneadecágono requiere dos trisecciones de ángulos para construirse, su construcción debería ser más complicada y requerir dos pasos.

2)) Una construcción general de un $n$ -gon en la demostración del Teorema 2 (y, espero, sus posibles generalizaciones en p. 194) sigue la serie de composición del grupo de Galois de $\Bbb Q(\eta)$ construyendo consecutivamente segmentos, cuyas longitudes generan las respectivas extensiones de campo. La comprensión de esto requiere un conocimiento de la teoría de Galois, que puede ser estudiado, por ejemplo, por las referencias. En particular, la última frase del penúltimo párrafo de la prueba proporciona una respuesta positiva a la pregunta 2.d.

2.a-2.c)) Considere una generalización del teorema a cualquier natural $n\ge 3$ . El segundo párrafo de su demostración sigue siendo válido, véase, por ejemplo, [vdW, §60]. Si $\varphi(n)=2p_1\dots p_\ell$ donde $p_i$ son números primos (no necesariamente distintos), entonces el grupo de Galois de $\Bbb Q(\eta)$ tiene una serie de composición de longitud $\ell$ con los cocientes isomorfos a grupos cíclicos $\Bbb Z_{p_i}$ . Esta serie corresponde a una torre de extensiones cíclicas consecutivas de $\Bbb Q$ a $\Bbb Q(\eta)$ . Pero el problema es que en general no tenemos una contrapartida del Lemma (basado en el Teorema 1, especial para el grado tres), asegurando que podemos construir un segmento, cuya longitud genere la extensión por regla, compás y ángulo $p_i$ -sector.

Por otra parte, de la afirmación y la discusión de la última página se desprende que podemos construir un regular $n$ -gon mediante regla, compás y una colección de ángulos $p_i$ -sectores. Pero no se establece claramente, cuántas veces debemos utilizar ángulo $p_i$ -sectores. Según la afirmación de Gauss, deberíamos dividir un arco en $n-1$ partes iguales dos veces y cada una de estas subdivisiones puede realizarse utilizando $p_i$ -sectores $\ell$ veces en total.

Referencias

[Serge Lange, Álgebra Addison-Wesley, 1965 (traducción rusa, Moscú, Mir, 1968).

[B. L. van der Waerden, Álgebra (traducción al ruso).