¿Restar por 1 al resolver términos de secuencias?

Question

Si las Secuencias Aritméticas y Geométricas son simplemente funciones Lineales y Exponenciales respectivamente. ¿Por qué entonces restamos la n variable por 1 al resolver ciertos términos de estas secuencias?

$$t_n=d(n-1)+a$$

$$t_n=a\cdot r^{n-1}$$

He intentado explorar esta cuestión desde una perspectiva gráfica y está claro que esto hace que el índice de secuencia comience en 1 en lugar de en cero, pero ¿es realmente la única razón? Personalmente, prefiero que los índices de secuencia empiecen en 0, ya que me he dado cuenta de que ir y venir entre técnicas de ecuaciones lineales y fórmulas de términos de secuencia hace que sea fácil cometer errores de 1 en 1 si no se tiene cuidado.

Answer 1

Es simplemente una cuestión del conjunto de indexación que elija. A veces elegimos $I=\{0,1,2,\dots\}=\Bbb N_0$ y a veces $I=\{1,2,3,\dots\}=\Bbb N$ . Utilizando la primera, podemos escribir

$$\{t_n\}_{n \in I}\;\,/\;\,t_n=a\cdot r^n$$

y utilizando este último

$$\{t_n\}_{n \in I}\;\,/\;\,t_n=a\cdot r^{n-1}$$

No hay más misterio que ese.

Answer 2

No hay nada malo en utilizar $n$ en lugar de $n-1$ . Te dará la misma secuencia, sólo que desplazada en 1. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos secuencias $$ t_n=3(n-1)+2\qquad s_n=3n+2 $$ entonces tendremos \begin{array}{ccccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &\dots\\ \hline t_n & 2 & 5 & 8 & 11 & 14 &\dots\\ s_n & 5 & 8 & 11 & 14 & 17 \end{array} No hay ninguna diferencia real entre ambos. Algunas secuencias (especialmente las que se definen de forma recursiva) tienen propiedades que se definen de forma más ordenada cuando empiezan en un índice concreto, pero siempre que se tenga cuidado, se pueden desplazar los términos de una secuencia (o de una serie, para el caso) en la cantidad que se desee.