Cuantificación de cadenas, string espacio de Fock y transición a QFT

Question

Yo no soy un experto de la teoría de cuerdas y estoy bastante seguro acerca de las ideas básicas de la teoría de cuerdas que voy a preguntar acerca de. Agradecería algunos consejos de los más experimentados de los físicos.

Lo que estoy tratando de entender es cómo la teoría de cuerdas puede describir las partículas cuánticas de campos como en la teoría cuántica de campos. Esto debería ser posible, ya que, después de todo, se dice que el QFT puede ser visto como un límite de bajas energías de la teoría de cuerdas.

Lo que me gustaría hacer es comparar segunda cuantización en QFT a la teoría de cuerdas. En QFT, si la función de onda de un mecánico-cuántica de las partículas puede ser descrito como una superposición de un conjunto completo de funciones de onda $\{\phi_i(x)\}$, entonces podemos definir la creación de la aniquilación) $a_i^+$($a_i$) los operadores que generan simétrico/antisymmetrized productos de correspondiente de una de las partículas de los estados. Así, por esta construcción tenemos por ejemplo,$|100\dots\rangle = a_1^+|0\rangle = |\phi_1\rangle$, donde de nuevo $\langle x|\phi_1\rangle= \phi_1(x)$. Las relaciones de conmutación para $a_i^+$ $a_i$ seguir por construcción, este se llama canónica de cuantización. Finalmente, el cambio de la base a partir de la $\{|\phi_i\rangle\}$ $\{|x\rangle\}$obtenemos los operadores de campo $\psi(x) = \sum_i\phi_i(x)a_i$$\psi(x)^+ = \sum_i\phi_i^*(x)a_i^+$, de tal manera que $\psi(x)^+|0\rangle = |x\rangle = \sum_i\phi_i^*(x)|\phi_i\rangle$. Así que, para resumir, los operadores de campo $\psi(x)^+$ crear estados superposición con una distribución de probabilidad, la cual es igual a una función delta: $$ \langle x'|x\rangle = \sum_i\psi_i(x')\psi_i^*(x) = \delta(x-x')$$ Y de nuevo, relaciones de conmutación de los operadores de campo siga por definición.

En la teoría de cuerdas, las coordenadas $(\sigma,\tau)$ sobre el mundo de la hoja que parametrizar la incrustación $X^\mu(\sigma,\tau)$ de la cadena en el espacio-tiempo de juego el papel de las coordenadas espacio-tiempo $(x,t)$ en QFT, y la cadena incrustada $X^\mu(\sigma,\tau)$ desempeña el mismo papel que los operadores de campo $\psi(x)$, y con estas identificaciones de la cuantificación se realiza a lo largo de las mismas líneas. Pero esta construcción no es claro para mí, lo de estos operadores, $X^\mu$ realmente representan. Si en QFT $\psi(x)|0\rangle$ fue localizada la función de onda de una partícula de estado, ¿qué es $X^\mu(\sigma,\tau)|0\rangle$? Una función de onda localizadas en el mundo-hoja? ¿Cómo podemos entonces identificar algo que vive en algunos fictitions dos dimensiones de espacio en el parámetro $(\sigma,\tau)$ con partículas en 4 dimensiones espacio-tiempo? Y ¿cuál es el espacio de Fock y los estados de la misma en la teoría de cuerdas? Si alguien me dice que algo como $\alpha^\mu|0\rangle$ ($\alpha^\mu$ siendo los modos de $X^\mu$) puede ser visto como un fotón estado, lo único que veo en común con el fotón es el vector índice $\mu$. Los fotones que sé que son bosones descrita por una distribución de probabilidad sobre el espacio-tiempo. En este sentido, ¿cómo puedo hacer que la identificación con $\alpha^\mu|0\rangle$?

Yo aprecio mucho cualquier ayuda a desenredar estas ideas!

Answer 1

OK hay mucho aquí para desempacar.

En primer lugar, ¿qué entendemos por una partícula en un QFT?

Así la definición formal es algo así como, "la partícula de estados caer en las representaciones de la Poincaire grupo."

En tal vez más términos físicos, una partícula, en QFT, se define por un impulso eigenstate (que también puede haber asociados spin). Ejecutar realmente en serio problemas si intenta tomar la posición de estados propios de una partícula demasiado en serio [brevemente: si intenta localizar una partícula a una región muy pequeña dentro de su propia longitud de onda de Compton, el principio de incertidumbre permite la creación de objetos, y así obtener un gran número de partícula y la antipartícula los pares que se crea si intenta localizar la partícula y el cálculo de los golpes en su cara], y lo que nunca hemos de pensar realmente acerca de la posición de una partícula cuántica relativista.

Para definir una partícula suele fijarse en él cuando su velocidad es cero, en cuyo caso una partícula se define por su masa (energía en 0 impulso) y su espín (momento angular cero impulso). La teoría de cuerdas recrea partículas en este sentido, hay estados en la teoría de cuerdas que tienen masa y spin, que por lo tanto tendrá un aspecto como el de las partículas de baja energía observador. Además, se puede calcular la dispersión de las cadenas, lo que se verá como la dispersión de partículas de baja energía a los observadores que no se puede ver que la cadena es fibrosa.

Una teoría de una cuerda libre (es decir, un worldsheet con una topología trivial) no se reproduce la plena multiparticle Fock espacio de una teoría cuántica de campos. Por consiguiente, no podemos construir un campo cuántico operador $\phi(x)$ a partir de una sola cuerda libre. En su lugar, una teoría de una sola cuerda libre reproduce la partícula estados de un número infinito de las teorías cuánticas del campo.

En otras palabras, cuando usted cuantización de la cadena (en un worldsheet con topología trivial), terminará con una teoría de una sola cadena. Una sola cadena se ve como una sola partícula con una energía baja observador (uno que no puede sondear el 'aspecto fibroso' de la cadena). La clave es que hay muchos tipos diferentes de partículas individuales de los estados que una cadena puede ser, que se caracteriza por la masa y spin. La cadena tiene alguna estructura interna--el bajo consumo de energía observador directamente no se puede probar esta estructura, y tan sólo se ve un punto de partículas--pero la estructura interna muestra como diferentes masas o giros.

Vamos a decirlo una vez más para la buena medida. Una teoría cuántica de campos es una teoría de un número indefinido de partículas idénticas. Cuando cuantizar una cadena, se obtiene una teoría de una sola cadena que puede parecerse a cualquiera de una torre infinita de partículas con masas diferentes y giros.

OK en matemáticas aquí es a lo que me refiero:

Usted puede pensar de la cadena como la teoría cuántica, con una posición de operador $X^\mu$ y un impulso operador $p^\mu$. En realidad es más conveniente trabajar con la transformada de fourier de la posición del operador, llamamos a la coefficeints $\alpha$. El Hamiltoniano es dada por [esto es para los de cadena abierta en el cono de luz de calibre, ser perezoso acerca de algunos de los factores de $\alpha'$$2\pi$]

\begin{equation} H = \frac{1}{2p^+} \left( \sum_{i=1}^{D-2}\frac{1}{2} p^i p^i + \sum_{n\neq 0} \alpha_n^i \alpha_{-n}^i\right) \end{equation}

El primer término, sumando más de $p^i p^i$, es, básicamente, el hamiltoniano de una partícula libre, y por lo tanto no es super interesante.

Tal vez usted se dará cuenta de que el segundo término, con la $\alpha_n$, es muy similar a la de una suma de oscilador armónico hamiltonianos escrito en términos de la creación/annhilation operadores. En el hecho de que la relación puede ser muy precisa, mirar esas notas que enlaza con para más detalles.

El espectro del hamiltoniano es de un vacío de estado con un montón de igualmente espaciados oscilador armónico estados excitados viven en la parte superior de la misma. En realidad esto no es del todo correcto, no es en realidad un conjunto infinito de vacío estados etiquetados por $p^\mu$

\begin{equation} |0;p^\mu \rangle \end{equation} Estos son los autoestados del primer término en el hamiltoniano. La etiqueta $p^\mu$ es sólo el "centro de masa de movimiento" de la cadena. Podemos ignorarlo para los fines de esta cuestión, y de igual manera nos puede ignorar el primer término en el hamiltoniano anterior.

Lo interesante son los estados excitados. Como un oscilador armónico, consigue los estados excitados por actuar con la creación y annhilation operadores. Así, hemos sido capaces de construir creación y annhilation operadores, pero en este contexto es más conveniente utilizar el nivel de los operadores, las cuales difieren de las de una normalización de factor y es importante mantener un seguimiento de las $n$ etiqueta, sin embargo, el nivel de los operadores son moralmente muy similar a la creación/annhilation operadores ($n<0$ corresponden a la creación de los operadores). Por lo tanto los estados excitados son cosas como \begin{equation} \alpha_{-1}^i |0\rangle, \ \ \alpha_{-2}^i|0\rangle, \ \ \alpha_{-1}^i \alpha_{-1}^i |0\rangle, \ \ \alpha_{-1}^i \alpha_{-10}^i \alpha_{-32}^i |0\rangle \end{equation}

Ahora esto se parece mucho a un espacio de Fock de la teoría cuántica de campos, donde la creación/annhilation operadores están creando/annhilating partículas. Así que parece que, por analogía, cuando actúe con dos operadores voy a crear dos partículas.

PERO ESO NO ES LO QUE ESTÁ PASANDO!!!!!!!

Sólo tenemos una cadena. No estamos creando partículas, no estamos creando cadenas. Estamos creando estados excitados de una sola cadena.

¿Cómo podemos determinar lo que este estado se parece a una baja de energía observador? Así podemos calcular la masa (es decir, la energía, suponiendo que el centro de masa de movimiento es cero), y se calcula de la vuelta (es decir, el momento angular, suponiendo que el momento angular orbital también conocido como el centro de masa de movimiento es cero).

¿Cómo podemos calcular la energía y el momento angular?

Bueno, en realidad tenemos la posición $X^\mu$ e ímpetu $p^\mu$ operadores en la teoría ya, así que sólo uso el normal definiciones: $p^0$ es la energía de la cadena y se puede utilizar $X$ $p$ a la construcción de un operador de momento angular. Actúa sobre los estados excitados por encima, se encuentra que los estados se diferencian por la masa y spin.

Ese es el esquema, obviamente estoy rozando muchos detalles, pero honestamente ir a través de todos los de ella poco a poco iba a tardar al menos un pleno de la conferencia en una cadena de teoría del curso, por lo que recomiendo la lectura de Tong notas (enlace de abajo) si desea más detalles.

De todos modos, muy, muy brevemente dirección de sus otros ponits:

1. ¿Cómo podemos llegar QFT? Bien en este idioma se parece honesta manera de hacerlo sería a través de una teoría de un número indefinido de cadenas idénticas. Esto se conoce como cadena de la teoría de campo, y es muy duro. Sin embargo, la perspectiva moderna es que las cadenas son algo de un arenque rojo y no son fundamentales grados de libertad en la teoría, así que tal vez la cadena de la teoría del campo no es el camino a seguir en general.

2. Esperar, pero podemos obtener QFT, derecho? OK, sí es cierto que podemos reproducir los resultados de QFT de la teoría de cuerdas, de lo contrario, ¿cuál sería el punto? Podemos calcular la dispersión de las cadenas (resulta que lo que parece como dos cadenas de dispersión realmente puede ser considerado como una cadena de worldsheet con una lágrima en ella). Así, obtenemos un S de la matriz de cadenas, podemos tomar un límite de bajas energías de eso y obtener un S de la matriz de partículas. Podemos entonces escribir un QFT de lagrange que reproduce la misma energía baja S de la matriz. Mediante el uso de métodos a lo largo de estas líneas nos encontramos con que el bajo consumo de energía de los resultados de la teoría de cuerdas son reproducidos por la escritura de la supergravedad acciones.

3. ¿Qué $X^\mu (\sigma,\tau)|0 \rangle$ significa? Primero no estoy de acuerdo con usted en que $\sigma$ $\tau$ son "totalmente falsas las cosas", que son las coordenadas en el worldsheet. El worldsheet de la cadena es real (o al menos, es real si la cadena es real :)), por lo $\sigma,\tau$ etiquetado de cosas reales. También estoy en desacuerdo con usted llamando $\phi(x) |0\rangle$ posición de la función de onda en QFT. Yo diría que es una inserción del operador $\phi$ en el punto de $x$. Es el momento de investigar el campo cuántico en el punto de $x$. Similares, actuando con el operador $X^\mu(\sigma,\tau)$, es el momento de investigar la cadena metiendo en un punto en las cadenas worldsheet etiquetados por $\sigma,\tau$.

Referencia:

Un muy buen set de notas de la conferencia de David Tong se puede encontrar en http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string.html

Consulte el capítulo 2, especialmente (que está haciendo el cerrado de la cadena, pero es moralmente similar para lo que te interesa)