Intervalo de confianza estrecho: ¿mayor precisión?

Question

Tengo dos preguntas sobre los intervalos de confianza:

Aparentemente, un intervalo de confianza estrecho implica que hay una menor probabilidad de obtener una observación dentro de ese intervalo, por lo tanto, nuestra precisión es mayor.

Además, un intervalo de confianza del 95% es más estrecho que uno del 99%, que es más amplio.

El intervalo de confianza del 99% es más preciso que el del 95%.

¿Puede alguien darme una explicación sencilla que me ayude a entender esta diferencia entre precisión y estrechez?

Answer 1

El 95% no está ligado numéricamente en absoluto a la confianza que tiene en que ha cubierto el verdadero efecto en su experimento. Quizás reconocer que "intervalo que utiliza el cálculo del intervalo de cobertura del 95%" podría ser un nombre más preciso para ello. Puedes tomar la decisión de decidir que el intervalo contiene el valor verdadero; y estarás en lo cierto si lo haces de forma consistente el 95% de las veces. Pero realmente no sabes qué probabilidad hay para tu experimento concreto sin más información.

Q1: Su primera pregunta confunde dos cosas y utiliza mal un término. No me extraña que esté confundido. Un intervalo de confianza más estrecho puede ser más preciso pero, cuando se calcula de la misma manera, como el método del 95%, todos tienen la misma precisión. Captan el valor verdadero en la misma proporción de las veces.

Además, el hecho de que sea estrecho no significa que sea menos probable encontrar una muestra que caiga dentro de ese estrecho intervalo de confianza. Un intervalo de confianza estrecho puede conseguirse de tres maneras. El método experimental o la naturaleza de los datos podrían simplemente tener una varianza muy baja. El intervalo de confianza en torno al punto de ebullición del agua del grifo a nivel del mar es bastante pequeño, independientemente del tamaño de la muestra. El intervalo de confianza en torno al peso medio de las personas podría ser bastante grande porque las personas son muy variables, pero se puede hacer que ese intervalo de confianza sea más pequeño simplemente adquiriendo más observaciones. En ese caso, a medida que se adquiere más certeza sobre dónde se cree que está el valor verdadero, recogiendo más muestras y haciendo más estrecho el intervalo de confianza, entonces la probabilidad de encontrar un individuo en ese intervalo de confianza sí que disminuye. (Disminuye en cualquier caso cuando se aumenta el tamaño de la muestra, pero puede que no se moleste en recoger la muestra grande en el caso del agua hirviendo). Por último, podría ser estrecho porque su muestra no es representativa. En ese caso, es más probable que el 5% de los intervalos no contengan el valor verdadero. Es un poco paradójico en cuanto a la amplitud del IC y algo que debería comprobar conociendo la bibliografía y lo variables que suelen ser estos datos.

Considere además que el intervalo de confianza trata de estimar el verdadero valor medio de la población. Si lo supieras al dedillo, serías aún más preciso (y exacto) y ni siquiera tendrías un intervalo de estimaciones. Pero su probabilidad de encontrar una observación con ese mismo valor exacto sería mucho menor que encontrar una dentro de cualquier IC basado en una muestra concreta.

Q2 : Un intervalo de confianza del 99% es más amplio que uno del 95%. Por lo tanto, es más probable que contenga el valor verdadero. Véase la distinción anterior entre preciso y exacto, está usted confundiendo los dos. Si hago un intervalo de confianza más estrecho con menor variabilidad y mayor tamaño de muestra, se vuelve más preciso, los valores probables cubren un rango menor. Si aumento la cobertura utilizando un cálculo del 99%, se vuelve más preciso, es más probable que el valor verdadero se encuentre dentro del intervalo.

Answer 2

Para un conjunto de datos determinado, aumentar el nivel de confianza de un intervalo de confianza sólo dará lugar a intervalos mayores (o al menos no más pequeño ). No se trata de la exactitud o la precisión, sino de cuánto riesgo estás dispuesto a correr por no conocer el valor real.

Si se comparan intervalos de confianza para el mismo tipo de parámetro a partir de varios conjuntos de datos y uno es más pequeño que el otro, se podría decir que el más pequeño es más preciso . Prefiero hablar de precisión en lugar de precisión en esta situación (véase este artículo de Wikipedia ).

Answer 3

En primer lugar, un IC para un porcentaje de confianza determinado (por ejemplo, 95%) significa, a efectos prácticos (aunque técnicamente no es correcto), que se confía en que el valor verdadero se encuentre en el intervalo.

Si este intervalo es "estrecho" (tenga en cuenta que esto sólo se puede considerar de forma relativa, así que, para comparar con lo que sigue, digamos que tiene 1 unidad de anchura), significa que no hay mucho margen para jugar: cualquier valor que elija en ese intervalo va a estar cerca del valor verdadero (porque el intervalo es estrecho), y está bastante seguro de ello (95%).

Compárese con un IC del 95% relativamente amplio (para que coincida con el ejemplo anterior, digamos que es de 100 unidades de ancho): en este caso, sigue teniendo un 95% de certeza de que el valor verdadero estará dentro de este intervalo, pero eso no le dice mucho, ya que hay relativamente muchos valores en el intervalo (aproximadamente un factor 100 frente a 1 - y pido, de nuevo, a los puristas que ignoren la simplificación).

Normalmente, necesitará un intervalo mayor cuando quiera estar seguro al 99% de que el valor verdadero se encuentra en él, que cuando sólo necesite estar seguro al 95% (nota: esto puede no ser cierto si los intervalos no están anidados), por lo que, efectivamente, cuanta más confianza necesite, más amplio tendrá que ser el intervalo que elija.

Por otro lado son más seguro con el intervalo de confianza más alto. Así, si le doy 2 intervalos de la misma amplitud, y le digo que uno es un IC del 95% y el otro es un IC del 99%, espero que prefiera el del 99%. En este sentido, los IC del 99% son más precisos: tiene menos dudas de que haya faltado a la verdad.

Answer 4

Me sumo a algunas buenas respuestas aquí a las que he dado upvotes. Creo que habría que decir algo más para aclarar completamente la conclusión. Me gustan los términos exacto y correcto tal y como los define Efron. Hace poco discutí largo y tendido sobre este tema en otra pregunta. Al moderado Whuber le gustó mucho esa respuesta. No voy a ir a la misma lnegth repetir que aquí. Sin embargo, para Efron la exactitud se refiere al nivel de confianza y la corrección a la amplitud o estrechez del intervalo. Pero no se puede hablar de estrechez sin considerar primero la exactitud. Algunos intervalos de confianza son exactos, es decir, son precisos porque tienen la cobertura real que anuncian. Un intervalo de confianza del 95% también puede ser aproximado porque utiliza una distribución asintótica. Los intervalos aproximados basados en la asintótica no van a tener, para un tamaño de muestra n finito, la cobertura anunciada, que es la cobertura que se obtendría si la distribución asintótica fuera la distribución exacta. Por tanto, un intervalo aproximado podría tener una cobertura insuficiente (es decir, anunciar un 95% cuando su cobertura real es sólo del 91%) o, en el caso poco frecuente pero menos grave, una cobertura excesiva (es decir, la cobertura anunciada es del 95% pero la real es del 98%). En el primer caso nos preocupamos de lo cerca que está la cobertura real de la cobertura anunciada). Una medida de la proximidad es el orden de precisión, que podría ser, por ejemplo, 1/√n o 1/n. Si el nivel de confianza real es cercano, lo llamamos exacto. La precisión es importante con los intervalos de confianza bootstrap, que nunca son exactos, pero algunas variantes son más precisas que otras.

Esta definición de precisión puede ser diferente a la que se refiere el PO, pero ahora debería estar claro cuál es la definición de Efron y por qué es importante ser preciso. Ahora bien, si tenemos dos métodos que son exactos podemos preferir uno sobre el otro si para cualquier nivel de confianza tiene la menor amplitud esperada. Un intervalo de confianza que sea el mejor en este sentido (a veces llamado el más corto) sería el que habría que elegir. Pero esto requiere exactitud. Si el nivel de confianza es sólo aproximado, podríamos estar comparando manzanas con naranjas. Uno podría ser más estrecho que otro sólo porque es menos exacto y, por lo tanto, tiene una cobertura real menor que su cobertura anunciada.

Si dos intervalos de confianza son ambos muy exactos o uno es exacto y el otro muy exacto comparar la anchura esperada puede estar bien porque al menos ahora estamos mirando sólo dos dos variedades de manzanas.