Supongamos que el valor verdadero $V$ de un coche se distribuye uniformemente, entre $0$ y $1000$ . Puede pujar cualquier cantidad por el coche, y si pujas el valor real o más, entonces pagas tu puja y te quedas con el coche. Usted conoce a un vendedor muy bueno, y confía en su capacidad para vender el coche por $50\%$ más que su valor real. ¿Qué debe pujar para maximizar el beneficio esperado?
Mi razonamiento es el siguiente:
El valor esperado del coche es $500$ en función de la distribución que nos den. Por lo tanto, por término medio lo venderé por $1.5*500 =750$ .
Esto significa que si pujo $501$ entonces debería ganar más a menudo de lo que pierdo. Cuando pierdo mi pago es $0$ y para las victorias, mi pago promedio debería ser de $750-501=249$ .
Sin embargo, me presentaron la siguiente solución, que contradice la mía.
que nuestra oferta $=X.$
Valor real del coche $=V.$
Valor esperado $= P(\text{win})*(\text{Payoff from winning}).$
$P(\text{win})=X/1000$ ya que ganamos cuando nuestra oferta está por encima o al valor real, y hay $x$ valores inferiores o iguales a nuestra oferta de $1000.$
La recompensa de ganar $= 3/4(X)- X.$
$3/4\,x$ es el valor por el que lo vendo ya que si gano, eso significa que $X>V$ así que $$V \sim \text{Unif}[0,X],$$ y, por tanto, valor esperado de $V = 0+X/2=X/2$ .
Precio de venta (como se menciona en la pregunta) $= 3/2*V=3/2\,(x/2)=3/4\,X.$
Esto sugiere que el precio de venta siempre será inferior al que ofertamos, por lo que nuestra expectativa es negativa.
Ambas soluciones tienen sentido para mí, así que me cuesta entender por qué una es errónea.
