es $f(x)$ limitado a $x_0$ cuando f(x) no está definida en $x_0$ ?

Question

Deje $f(x)$ no definido en $x_0$ ¿podemos decir $f(x)$ se ofrece en $x_0$ ?

Esto es lo que pensé:

si $f(x)$ se define en $x_0$ entonces $f(x)$ está limitado en $x_0$ ya que es un solo punto.

pero si $f(x)$ no definido en $x_0$ trato de escribir de alguna manera formal como..:

$\exists M\ge 0$ tal que si $x=x_0$ entonces $f(x_0) \le M$
o
si $x=x_0$ entonces $\exists M\ge 0$ tal que $f(x_0) \le M$

de cualquier manera, ya que $x=x_0$ es falsa, ambas afirmaciones son verdaderas.

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la pregunta se origina a partir de una pregunta:

Verdadero o falso : si $\lim_{x \to x_0}f(x)$ existe, entonces $f(x)$ está limitado en $x_0$

la pregunta trata de comprobar la relación entre el límite del punto y el punto.

pero mi pensamiento es que $f(x)$ siempre limitada a $x_0$ no importa $f(x)$ se define en $x_0$ o no.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

En primer lugar: si $f$ no está definido en $x_0$ entonces $f(x_0)$ no tiene sentido.

Supongamos que $f:D \to \mathbb R$ es una función, $x_0 \notin D$ pero $x_0$ es un punto de acumulación de $D$ .

Si $\lim_{x \to x_0}f(x)$ existe, entonces hay $ \delta>0$ tal que $f$ está limitada en $(D \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{x_0\}.$

Prueba: sea $L:=\lim_{x \to x_0}f(x).$ Con $ \epsilon=1$ conseguimos que haya $ \delta>0$ tal

$|f(x)-L|<1$ para todos $x \in (D \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{x_0\}.$

Esto da $|f(x)| =|f(x)-L+L| \le 1+L$ para todos $x \in (D \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta)) \setminus \{x_0\}.$

q.e.d.

Answer 2

Estrictamente hablando, como Fred señaló en su respuesta, $x_0$ está fuera del dominio de definición de la función $f$ Así que hablando de $f(x_0)$ no tiene sentido.
Sin embargo, al decir que $$ \lim\limits_{x\to x_0} f(x)= L\in \Bbb R $$ se sobreentiende que $x_0$ pertenece al conjunto derivado del dominio de $f$ , $\mathrm{dom}(f)^\prime$ . Por lo tanto, puede ampliar $f$ a una función ${^e\!f}$ como sigue $$ {^e\!f}(x_0)= \begin{cases} f(x_0) & x_0 \in \mathrm{dom}(f)\\ \\ \lim\limits_{x\to x_0} f(x) & x_0 \in \mathrm{dom}{(f)^\prime}\setminus \mathrm{dom}(f) \end{cases}. $$ Ahora se puede decir que $f$ está limitado en $x_0$ (y en cada vecindad suficientemente cercana de $x_0$ ) desde su ampliación ${^e\!f}$ es este truco se utiliza a veces para extender las propiedades puntuales de una función desde el interior de su dominio de definición a todo el límite. Por ejemplo, Hassler Whitney utilizó una maquinaria similar cuando precisó lo que debía entenderse por " Funciones diferenciables en los límites de las regiones ".
Por último, permítame observar que tal vez la razón por la que su pregunta ha suscitado algunas dudas es que, como señala el Sr. Kavi Rama Murthy en su comentario anterior, la locución "delimitado en un punto" es inusual. La acotación no suele considerarse una propiedad de los conjuntos discretos (finitos) de puntos de dominio de funciones de una variable real.