Se elige una carta al azar del mazo uno y se pone en el mazo dos, luego se elige una carta al azar del mazo dos y se pone en el mazo uno.

Question

La baraja uno contiene k cartas blancas y j rojas. La baraja dos contiene r cartas blancas y p rojas. Se elige una carta al azar de la baraja uno y se pone en la baraja dos, luego se elige una carta al azar de la baraja dos y se pone en la baraja uno, y finalmente se selecciona una carta de la baraja uno. ¿Cuál es la probabilidad de que la última carta seleccionada sea blanca?

Esto es lo que tengo hasta ahora

deje $A$ = carta elegida del mazo uno es blanca

$B$ = 2ª carta elegida del mazo dos es blanca

$C$ = la 3ª carta elegida del mazo uno es blanca

$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = (r+1)/(r+p+1) * k/(j+k) + r/(r+p+1) * j/(j+k)$

$P(C) = P(C|BA) + P(C|BA^c) + P(C|B^cA) + P(C|B^cA^c)$

?? tiene en cuenta 4 escenarios: blanco fuera+blanco dentro, rojo fuera+blanco dentro, blanco fuera+rojo dentro, rojo fuera + rojo dentro

Ahora estoy muy perdido :)

Answer 1

Casi tienes razón. $P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c)=\frac{r+1}{r+p+1}\frac{k}{k+j}+\frac{r}{r+p+1}\frac{j}{k+j}=\frac{jr+kr+k}{(k+j)(r+p+1)}$

Siguiente,

$P(C)=P(C|BA)P(BA)+P(C|BA^c)P(BA^c)+P(C|B^cA)P(B^cA)+P(C|B^cA^c)P(B^cA^c)$

$P(BA)=P(A)P(B|A)=\frac{r+1}{r+p+1}\frac{k}{k+j}$

$P(BA^c)=P(A^c)P(B|A^c)=\frac{r}{r+p+1}\frac{j}{k+j}$

$P(B^cA)=P(A)P(B^c|A)=\frac{p}{r+p+1}\frac{k}{k+j}$

$P(B^cA^c)=P(A^c)P(B^c|A^c)=\frac{p+1}{r+p+1}\frac{j}{k+j}$

Por fin,

$P(C)=\frac{k}{k+j}\frac{r+1}{r+p+1}\frac{k}{k+j}+\frac{k+1}{k+j}\frac{r}{r+p+1}\frac{j}{k+j}+\frac{k-1}{k+j}\frac{p}{r+p+1}\frac{k}{k+j}+\frac{k}{k+j}\frac{p+1}{r+p+1}\frac{j}{k+j}=\frac{jkp+jkr+jk+jr+k^2p+k^2r+k^2-kp}{(k+j)^2(r+p+1)}$