deje $q$ sea un primo de la forma $q=3r+1$ y asumir que $p=4q+1$ también es primo. Demuestre que $3$ es una raíz primitiva de $p$

Question

¿Cómo empezar? La prueba de si $p$ es un primo impar, entonces $(\frac{2}{p})=(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}$ parece útil, pero no sé cómo adaptarlo

Answer 1

Por el Teorema de Fermat, tenemos $3^{4q}\equiv 1\pmod{p}$ . Por lo tanto, el orden de $3$ divide $4q$ . Demostramos que $3$ es una raíz primitiva de $p$ demostrando que el orden de $3$ modulo $p$ es exactamente $4q$ . Esto puede hacerse demostrando que $3$ no tiene orden $1$ , $2$ , $4$ , $q$ o $2q$ .

Tenga en cuenta que $3$ es un no-residuo cuadrático de $p$ . Pues calculemos el símbolo de Legendre $(3/p)$ . Por reciprocidad cuadrática, ya que $p$ tiene forma $4k+1$ tenemos $(3/p)=(p/3)$ . Tenemos $p=12r+5$ y, por lo tanto $(p/3)=(5/3)=(2/3)=-1$ .

De ello se deduce que $3^{2q}\equiv -1\pmod{p}$ . Esto implica que $3$ no tiene orden $2q$ o $q$ .

Le dejamos que demuestre que $3$ no tiene orden $1$ , $2$ o $4$ modulo $p$ .