Pruebas $\limsup (A_n) \cap \limsup (A^{c}_{n}) = \limsup (A_n \cap A^{c}_{n+1})$

Question

Sea $(\Omega, \mathscr{F},P)$ sea un espacio de probabilidad y $\{A_n\}_{n\geq 1}$ una secuencia en $\mathscr{F}$ . Demostrar que $$\limsup (A_n) \cap \limsup (A^{c}_{n}) = \limsup (A_n \cap A^{c}_{n+1})$$

Como es una igualdad tengo que mostrar ambas inclusiones.

Supongamos que $x\in \limsup (A_n) \cap \limsup (A^{c}_{n})$ .

Según la definición de limsup:

$x \in \limsup (A_n)$ $\dashrightarrow$ $\forall n \ge 1, \ \exists k \ge n$ tal que $ x \in A_{k}$

$x \in \limsup (A^{c}_n)$ $\dashrightarrow$ $\forall m \ge 1, \ \exists h \ge m$ tal que $ x \in A^{c}_{h}$

A partir de aquí no sé cómo proceder.

Answer 1

Permítanme dar una prueba utilizando eventos.

Tomemos prestada la noción "infinitamente a menudo" (i.o.) del libro de texto de probabilidad de Durrett (en la sección sobre el lema de Borel-Cantelli), reescribamos $\limsup$ como $i.o.$ y la inclusión inversa debería ser obvia.

$$\{A_n \cap A_{n+1}^c i.o.\} \subseteq \{A_n i.o.\} \cap \{A_n^c i.o.\}$$

Sea $x\in\{A_n \cap A_{n+1}^c i.o.\}$ para cualquier $n$ encuentra $N\ge n$ para que $x\in A_N \cap A_{N+1}^c$ . Esto muestra la $x \in \{A_n i.o.\}$ . Del mismo modo, $x \in \{A_n^c i.o.\}$

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Demuestre la inclusión directa por contradicción. Sea $x \notin \{A_n \cap A_{n+1}^c i.o.\}$ . es decir $x \in A_n \cap A_{n+1}^c$ "finitamente a menudo".

Por lo tanto, $x \in A_n^c \cup A_{n+1}$ para un $n$ . Desde $x \in \{A_n i.o. \}$ existe un $N\ge n$ para que $x \in A_N$ . Invocar nuestra hipótesis $x \in A_N^c \cup A_{N+1}$ para concluir que $ x\in A_{N+1}$ . Inductivamente, hemos demostrado que $x \in A_m$ para todos $m \ge N$ lo que contradice $x \in \{A_n^c i.o.\}$ .

Answer 2

Podemos utilizar la formulación de la teoría de conjuntos: $\limsup A_n=\left ( \bigcap_{n\ge 1}\bigcup_{j\ge n}A_j \right ).$ Es decir, $x\in \limsup A_n$ si y sólo si para todos los números enteros $n$ existe un número entero $j\ge n$ tal que $x\in A_j.$

Supongamos $x\in \limsup A_n\cap \limsup A_{n}^c.$ Fijar $n$ y elegir el menor número entero $j\ge n$ para lo cual $x\in A^c_{j+1}.$ Entonces, $x\notin A_j^c\Rightarrow x\in A_j\Rightarrow x\in A_j\cap A^c_{j+1}$ y se deduce que $x\in \limsup (A_n\cap A^c_{n+1}).$

Por otra parte, si $x\in \limsup (A_n\cap A^c_{n+1})$ para cada número entero $n$ existe un número entero $j\ge n$ tal que $x\in A_j\cap A^c_{j+1}$ y se deduce que $x\in \limsup A_n\cap \limsup A_{n}^c$ .