Algunas preguntas sobre la matriz de Hilbert

Question

Este ejercicio $12$ página $27$ del libro de Hoffman y Kunze Álgebra lineal .

El resultado o Ejemplo $16$ sugiere que tal vez la matriz

$$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \ldots & \frac{1}{n}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \ldots & \frac{1}{n+1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{n} &\frac{1}{n+1} &\ldots &\frac{1}{2n-1} \end{bmatrix}$$

es invertible y $A^{-1}$ tiene entradas enteras. ¿Puedes demostrarlo?

Copiaré sus palabras ante ese ejemplo:

A algunas personas les resulta menos incómodo llevar dos seq matrices, una que describa la reducción de $A$ a la identidad y la otra el efecto de la misma secuencia de operaciones a partir de la identidad. a partir de la identidad.

En este Correo electrónico: , dice Adrián Barquero:

Si tu libro de álgebra lineal es Kenneth Hof libro de Álgebra Lineal de Kenneth Hoffmann y Ray Kunze entonces yo estaba en la misma situación que tú ahora hace unos años, pero me aconsejaron en su momento que este ejercicio no era tan fácil como uno podría esperar al principio.

La matriz que tienes se llama matriz de Hilbert y la pregunta que ya se ha hecho un par de veces en el desbordamiento de matemáticas aquí a aquí . Sus respuestas son excelentes, así que me limitaré a remitirle a ellas.

Mi pregunta: ¿Es posible responder a la pregunta formulada por los autores sin utilizar altas técnicas? Aquí no se me permite utilizar determinantes.

PD: Esas respuestas en MO no responden a la pregunta anterior. Pido disculpas si esta pregunta está fuera de lugar o si no he sido capaz de entender sus respuestas.

Answer 1

Sí, creo que un estudiante del nivel de este libro es capaz de responder a la pregunta. Pero no es fácil. Creo que sería un problema en la Olimpiada Matemática.

Te sugiero que hagas esta prueba por inducción sobre el tamaño $n$ de la $n \times n$ Matriz de Hilbert $A_n.$ Inicie el paso de inducción con $n = 2 $ . La declaración es esencialmente la siguiente:

$$ A_n = \left(\frac{1}{i + j-1}\right)_{ij} \mbox{ is a Hilbert matrix }\Rightarrow A_n^{-1} \in M_{n \times n}(\mathbb{Z}). $$

Primer paso. Verificar que mediante inspección de $ n = 2 $ .

Segundo paso. Compruebe que $A_n$ es una matriz de Hilbert, entonces $$ A_{n+1}= \begin{pmatrix} A_n & v^{T} \\ v & \frac{1}{2(n+1)-1} \end{pmatrix} \quad $$ es una matriz de Hilbert con $v=\left(\frac{1}{n+1},\dots,\frac{1}{2(n+1)-2}\right)$ . Ahora aplique inversión de matrices en forma de bloque, caso especial 1. Y en este caso especial en el que los bloques son matrices que conmutan, hay un ejercicio en el libro de Hoffman (no recuerdo en qué página).

Edición 1. Y en este caso concreto, esta fórmula puede obtenerse utilizando la definición de la inversa de una matriz. Basta con particionar la matriz inversa en bloques del mismo tamaño y hacer el producto y resolver un sistema matricial. Creo que un estudiante de la Olimpiada Matemática puede tener esta idea, y un estudiante medio puede entenderla.

Edita 2. Hecho lo dicho en Edición 1 según la notación del enlace, sólo para verificar que para $k =\frac{1}{2(n+1)-1} - vA_n^{-1}v^T,$ tenemos que $ \frac{1}{k}A_n^{-1}v^T \in\mathbb{Z} $ . Pero esto se puede comprobar de nuevo por inducción.