Rotación de 45 grados de la línea $y=-3x+1$ ?

Question

Actualmente estoy trabajando en los problemas de un libro de texto para Matemáticas Senior (Año 11 Matemáticas C, llamado 'Maths Quest - Matemáticas C para Queensland), sin embargo, actualmente estoy en un problema en el que mi respuesta, a pesar de intentarlo varias veces, es incorrecta para el resultado del libro de texto. La pregunta es, ¿cuál es la imagen de la línea $y=-3x+1$ estaría bajo la rotación de 45 grados.

Parece que estoy cometiendo un simple error en alguna parte, pero no estoy seguro de dónde, por lo tanto no puedo identificar mi error.

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = R_{45^\circ} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$$$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=R_{45^\circ}^{-1} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}$$$$R_\theta=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \\ \end{bmatrix}$$$$ R_{45^\circ}= \begin{bmatrix} \cos45 & -\sin45 \\ \sin45 & \cos45 \\ \end{bmatrix}$$$$=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$$ $$_\text{The error occurred here, I didn't use the inverse}$$$$\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1} {\sqrt{2}} & -\frac{1} {\sqrt{2}} \frac{1} {\sqrt{2}} & \frac{1} {\sqrt{2}}end{bmatrix}} \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}$$$$\therefore x=\frac1{\sqrt2}x' - \frac1{\sqrt2}y'$$$$ \space y=\frac1{\sqrt2}x' + \frac1{\sqrt2}y' $$$$\text{Sub x and y into original equation...}$$$$ \frac1{sqrt2}x' + \frac1{sqrt2}y'=-3(\frac1{sqrt2}x' - \frac1{sqrt2}y')+1 $$$$=\frac{-3}{\sqrt2}x'+\frac{3}{\sqrt2}+1$$$$ \frac1{\sqrt2}y'=-\frac4{\sqrt2}x'+\frac3{\sqrt2}y'+1 $$$$\frac{-2}{\sqrt2}y'=\frac{-4}{\sqrt2}x'+1$$$$ \frac2{\sqrt2}y'=\frac4{\sqrt2}x'-1 $$$$y'=\frac{4\sqrt2}{2\sqrt2}-\frac{\sqrt2}{2}$$$$ y'=2x'-\frac{\sqrt2}2 $$ All of the above methods used are simply multiplication, division, addition, and subtraction. I have tried this in a variety of orders, getting similar (once the same, however with $ -\frac{\sqrt2}{2} $ instead of $ \frac{\sqrt2}{2} $), however the textbook declares that the answer should be $ y'=\frac{x'}2+\frac{\sqrt2}{4}$.

¿En qué me he equivocado? Mientras se mantiene más o menos tan simple como mi propio ejercicio, cualquier ayuda es apreciada, especialmente otros ejercicios.

Answer 1

De otra manera.

Puedes ver tu línea como el conjunto de puntos en el plano complejo dado por $z = k + (1-3 k) i$ , $k \in \mathbb{R}, \ z = x+iy$ . Como una rotación en un ángulo $\alpha$ es lo mismo que multiplicar por $e^{i \alpha}$ tienes eso:

$$ \tilde{z} = z e^{i \pi/4} = \left( k+(1-3k)i \right) \, \left( \cos{\pi/4} + i \, \sin{\pi/4} \right) = \ldots $$

Que puedes siempre expresar en la forma $y = y(x)$ .

Espero que le resulte útil.

¡Salud!

Answer 2

La pendiente, $-3$ es el tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal. La tangente de una $45^\circ$ ángulo es $1$ . Así que $$ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} = \frac{-3+1}{1-(-3)1} = \frac{-2}{4} = \frac{-1}2. $$ Por tanto, la pendiente de la recta resultante es $-1/2$ .

Answer 3

Sustituir $$\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}$$

por $$\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}$$