Electrostática básica - Ecuación de Poisson

Question

Me gustaría resolver la Ecuación de Poisson para una región de carga espacial (cargas fijas y libres) que se encuentra dentro de un dispositivo de material semiconductor.

Lamentablemente no dispongo de condiciones de contorno para la superficie del dispositivo.

Ahora me pregunto si en mi caso puedo trabajar con la solución general de la Ecuación de Poisson:

$$\phi(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_s} \int \frac{\rho(r')}{|r-r'|} d^3 r'$$

Esta ecuación es una solución de la ecuación de Poisson para la condición de contorno $\phi=0 \;\text{for}\;|r - r'| \to \infty$ .

Creo que esta condición de contorno también debe ser válida para cualquier portador de carga en mi dispositivo (-> Ley de Coulomb). ¿Es esto correcto?

¿Es un problema que la condición límite esté fuera de mi volumen de interés?

Answer 1

La ecuación de Poisson dentro del semiconductor (homogéneo) es

$\Delta \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0 \epsilon_r}$

mientras que fuera de ella, la permitividad relavita $\epsilon_r$ es diferente, por ejemplo, si el material está en el vacío

$\Delta \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}$

La solución que propones no cumple ambas ecuaciones simultáneamente. Por lo tanto, la respuesta que has dado es correcta sólo fuera del dispositivo, donde cumple la ecuación de Poisson con su condición de contorno como ya sabemos.

Pero quieres el potencial dentro del dispositivo. Como puedes ver, la única diferencia entre las ecuaciones es una división por la permitividad relativa en el lado derecho. En este caso debes utilizar la misma fórmula pero con un factor adicional $\epsilon_r$ en el denominador. Por último, no debes olvidar añadir una constante, que surge de la integración y que puedes utilizar para asegurarte de que la curva de potencial se mantiene continua en el límite.