Grupo de Galois Gal( $\mathbb{Q}(\sqrt[8]{2},i)/\mathbb{Q}(i\sqrt{2}))$ isomorfo de $Q_8$

Question

Estoy intentando determinar cómo demostrar que el grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\sqrt[8]{2},i)/\mathbb{Q}(i\sqrt{2})$ es isomorfo a los cuaterniones. Dado que $i\sqrt{2}$ es el campo fijo, creo que la componente imaginaria de la raíz octava de la unidad debe ser fija y que $\sqrt[8]{2}$ sólo puede asignarse a sí mismo o a su opuesto. También sé que debe haber tres generadores del grupo de Galois ya que los cuaterniones están generados por $i,j,k$ todos los cuales tienen orden $4$ y que debe existir un automorfismo " $-1$ " que tiene orden $2$ . Creo que todos los automorfismos del grupo de Galois están determinados por su acción sobre $\sqrt[8]{2}$ y $i$ . Tengo un automorfismo $\sigma:\sqrt[8]{2}\mapsto \zeta\sqrt[8]{2},i\mapsto -i$ pero no se me ocurren los otros dos generadores ni cómo $\sigma$ podría referirse a un " $-1$ ". ¿Puede alguien darme una pista sobre por dónde empezar sin darme la respuesta?

Answer 1

Considere la torre $$\mathbb{Q}(i\sqrt{2})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, i)\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[8]{2}, i)$$

Tenga en cuenta que $\zeta_8\in \mathbb{Q}(\sqrt{2}, i)$ . Ahora $$\mathbb{Q}(\sqrt[8]{2}, i)/\mathbb{Q}(\sqrt{2}, i)$$ es una extensión de grado $4$ añadiendo la raíz cuarta de $\sqrt{2}$ y su grupo de Galois es cíclico con generador $\sigma$ donde

$$\sigma(\sqrt[8]{2})=i\sqrt[8]{2}$$ y, por supuesto, declaremos explícitamente que $$\sigma(i)=i$$ Claramente $\sigma^4=e$ .

Ahora defina $$\tau(i)=-i\qquad \tau(\sqrt[8]{2})=\zeta_8 \sqrt[8]{2}$$

De ello se deduce que $\tau(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$ y así $\tau$ fija $i\sqrt{2}$

Así pues, debe comprobarse que

$$\tau^{-1}\sigma\tau =\sigma^{-1}$$ y $$\sigma^2=\tau^2$$

Estas relaciones se deducen de un cálculo sencillo y se las dejo a ustedes. Esto verifica las relaciones generadoras de $Q_8$ .