grupos cocientes isomorfos pero grupos no isomorfos

Question

Estoy estudiando para un próximo examen y me dieron el siguiente problema como práctica:

¿Puede ocurrir que $G_1$ no es isomorfo a $G_2$ pero tienen subgrupos normales isomorfos $N_1 < G_1$ y $N_2 < G_2$ y grupos isomorfos cocientes $G_1/N_1$ y $G_2/N_2$ ?

Creo que debe ser que $G_1$ es isomorfo a $G_2$ pero no puedo por mi vida mostrar esto.

Una situación podría ser que el orden de $G_1$ y $G_2$ no son iguales, entonces el orden de $G_1/N_1$ no es lo mismo que $G_2/N_2$ pero si $|G_1|=|G_2|$ parece que es posible que no sean isomorfas y que, sin embargo, presenten las propiedades anteriores.

Answer 1

Considere $\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/2$ y $\mathbb Z/4$ .