Tengo que evalute $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^z\ dx.$$ Pongo esta integral en Wolfram Alpha, y el resultado es $$\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{z+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right)},$$ pero no sé por qué. Si $z$ es un entero positivo, entonces uno puede hacer integración por partes, muchas veces. Finalmente, este rendimientos $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{2z}\ dx=\frac{(2z-1)!!}{(2z)!!}\frac{\pi}{2},$$ donde $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdots (2n-1)$, e $(2n)!!=2\cdot 4\cdots 2n$. Le agradezco su ayuda.
Respuestas
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La respuesta proporcionada por Leo es el primero que me viene a la mente, pero aquí es una partida directamente desde la definición de la $\Gamma(s)$.
A partir de la definición de Gamma:
Considere la posibilidad de
$$\Gamma(s)\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}t^{s-1}u^{z-1}e^{-(t+u)}dtdu.$$
Vamos $t=x^{2}$, $u=y^{2}$. Entonces tenemos
$$\Gamma(s)\Gamma(z)=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^{2s-1}y^{2z-1}e^{-(x^{2}+y^{2})}dtdu.$$
El cambio a coordenadas polares y establecer $y=r\sin\theta$, $x=r\cos\theta$, para obtener
$$\Gamma(s)\Gamma(z)=4\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2s-1}\theta\sin^{2z-1}\theta d\theta\right)\left(\int_{0}^{\infty}r^{2s+2z-1}e^{-r^{2}}dr\right).$$
Dejando $\eta=r^{2}$ tenemos
$$2\int_{0}^{\infty}r^{2s+2z-1}e^{-r^{2}}dr=\int_{0}^{\infty}\eta^{s+z-1}e^{-\eta}d\eta=\Gamma(s+z).$$
Por lo tanto
$$\frac{\Gamma(s)\Gamma(z)}{\Gamma(s+z)}=2\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2s-1}\theta \sin^{2z-1}\theta d\theta\right).$$
Establecimiento $s=\frac{1}{2}$$z=\frac{x+1}{2}$, los rendimientos de su identidad.
Espero que ayude,
Tim Abell
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Simplemente, después de Theo sugerencia $$ \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin\psi)^x}d\psi&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin\psi)^{2\cdot \frac{1}{2}(x+1)-1}(\cos\psi)^{2\cdot \frac{1}{2}-1}}d\psi\\ &=\frac{1}{2}B\left( \frac{x+1}{2},\frac{1}{2} \right)\\ &= \frac{1}{2}\cdot \frac{\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left( \frac{x}{2}+1 \right)}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)}{2\Gamma\left( \frac{x}{2}+1 \right)}. \end{align*}$$
