¿Qué es la prueba más inusual que sabes $\sqrt{2}$ es irracional?

Question

¿Cuál es la más inusual prueba de que usted sabe que $\sqrt{2}$ es irracional?

Aquí es mi favorito:

Teorema: $\sqrt{2}$ es irracional.

Prueba: $3^2-2\cdot 2^2 = 1$.

(Eso es todo)

Que es un corolario de la este resultado:

Teorema: Si $n$ es un número entero positivo y no son enteros positivos $x$ y $y$ que $x^2-ny^2 = 1$, entonces $\sqrt{n}$ es irracional.

La prueba está en dos partes, cada uno de los cuales tiene una línea de prueba.

Parte 1:

Lema: Si $x^2-ny^2 = 1$, entonces existen enteros arbitrariamente grandes $u$ y $v$ que $u^2-nv^2 = 1$.

La prueba de la parte 1:

Aplicar la identidad $(x^2+ny^2)^2-n(2xy)^2 =(x^2-ny^2)^2 $ tantas veces como sea necesario.

Parte 2:

Lema: Si $x^2-ny^2 = 1$ y $\sqrt{n} = \frac{a}{b}$ entonces $x < b$.

La prueba de la parte 2:

$1 = x^2-ny^2 = x^2-\frac{a^2}{b^2}y^2 = \frac{x^2b^2-y^2a^2}{b^2} $ o $b^2 = x^2b^2-y^2a^2 = (xb-ya)(xb+ya) \ge xb+ya > xb $ así $x < b$.

Estas dos partes son contradictorias, así $\sqrt{n}$ debe ser irracional.

Dos cosas a tener en cuenta sobre esta prueba.

En primer lugar, esto no es necesario El teorema de Lagrange que por cada no cuadrados entero positivo de $n$ hay enteros positivos $x$ y $y$ tal que $x^2-ny^2 = 1$.

Segundo, la propiedad clave de enteros positivos necesarios es que si $n > 0$ entonces $n \ge 1$.

Answer 1

Suponga que $\sqrt{2} = a/b$, con $a,b$ enteros positivos. Significado de $a = b\sqrt{2}$. Considerar $$A = \{ m \in \Bbb Z \mid m > 0 \text{ y }m\sqrt{2} \in \Bbb Z \}.$$

Bien, $A \neq \varnothing$ porque $b \in A$. Por el bien principio de orden, $$ tiene al menos un elemento, $s$. Y $s,s\sqrt{2} \in \Bbb Z_{>0}$. A continuación, considere el número entero: $$r= s\sqrt{2}.$$ Tenemos un total de $r =s(\sqrt{2}-1) < s$ y $r > 0$. Pero $r\sqrt{2} = 2s-s\sqrt{2}$ es de nuevo un entero. Por lo tanto $i \in A$ y $r < s$, contradicción.

Answer 2

Aquí es algo que me acaba de llegar.

Si $\sqrt2$ era racional, habría sido en todos los campos de caracteres $0$.

También es bien conocido que existen infinitos números primos p $$ tales que $x^2-2$ no tiene raíz en $\Bbb F_p$. Deje que $P$ el conjunto de estos números primos, y dejar que $U$ ser libre ultrafilter más de $P$. Ahora considere $F=\prod_{p\P}\Bbb F_p/U$.

El uso de Los teorema tenemos que:

1. $F$ es un campo.
2. $F$ características $0$.
3. $\lnot\exists x(x^2-2=0)$.

Esto significa exactamente que hemos encontrado un campo que se extiende a los números racionales, pero no tiene raíces por $x^2-2$, lo que en otras palabras significa que $\sqrt2\noen F$ y por tanto $\sqrt2\noen\Bbb Q$.

Answer 3

Consideremos la aplicación lineal $A:\mathbb {R} ^ 2\to \mathbb{R}^2$ por $$ A = \begin {pmatrix} -1 & 2 \\ \end{pmatrix 1 & -1}. $$ $ $A $\mathbb{Z}^2$ todos los mapas en sí mismo y $V = \ {y = \sqrt 2 x\} $ es un subespacio propio en relación con el valor propio $\sqrt 2 1$. Pero $A\mid_V$ es un mapeo de la contracción, así $\mathbb{Z}^2\cap V = $\emptyset.

Answer 4

Nunca tan poco off-topic, pero no me puedo resistir recordando a la gente de la prueba de que $\sqrt[n]{2}$ es irracional $n \ge 3$ usando el Ultimo Teorema de Fermat:

Suponga que $\sqrt[n]{2} = a/b$ para algunos enteros positivos $a$ y $b$. Entonces tenemos $2 = a^n / b^n$, o $b^n + b^n = a^n$. Pero Andrew Wiles ha demostrado que no hay un valor distinto de cero enteros $a, b$ satisfacción de la última ecuación. Por lo tanto $\sqrt[n]{2}$ debe ser irracional. [Esta prueba se debe a W. H. Schultz y apareció en el número de Mayo de 2003 tema de la American Mathematical Monthly.]

Answer 5

Quiero añadir la siguiente figura. Yo no lo podría llamar inusual, pero quizás no lo suficientemente comunes como para estar ampliamente disponible.

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Actualización: después me comprueba la imagen del artículo de wikipedia (enlace en los comentarios a la pregunta actual) y presenta la misma prueba en un poco complejo de la moda. No hay necesidad de dos arcos. Sólo tenga en cuenta que si $m$ es la hipotenusa de un triángulo más grande y $n$ es uno de los otros lados, a continuación, después de esta construcción la longitud del lado del más pequeño triángulo es de $(m - n)$ (esta es la parte obvia). El ligeramente la parte más difícil es demostrar que la hipotenusa del más pequeño triángulo es de $(2n - m)$ y para este artículo de wiki dibuja dos arcos.

Sin embargo, podemos ver fácilmente que las tangentes trazadas desde el punto externo a un círculo son de igual longitud. Por lo tanto, tanto las tangentes son iguales al lado del más pequeño triángulo es decir, $(m - n)$. Por lo tanto la hipotenusa del más pequeño triángulo es de $(n - (m - n)) = 2n - m$.