Es $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ ¿un campo vectorial o sólo un vector?

Question

He oído tanto que sí como que no.

Es $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ ¿un campo vectorial o sólo un vector?

Creo que es ambiguo, siempre se escribe sin argumento.

En aras de la claridad: Utilizo la notación $\mathbf{F}(x,y,z)$ o $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ para un campo vectorial $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ . $\mathbf{F}(t)$ para una función vectorial $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ y $\mathbf{F}$ para un vector (sin argumento, sólo un vector constante).

EDITAR :

No entiendo si $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ puede escribirse explícitamente como:

Un campo vectorial: $$ \mathbf{F}(x,y,z)=m\mathbf{a}(x,y,z) $$

Un campo vectorial con tiempo $t$ : $$ \mathbf{F}(x,y,z,t)=m\mathbf{a}(x,y,z,t) $$

Una función vectorial: $$ \mathbf{F}(t)=m\mathbf{a}(t) $$

O si siempre es un vector (sin función, sólo un vector constante): $$ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $$

Answer 1

Depende de la situación concreta.

A priori, la ecuación $F=ma$ debe leerse como una ecuación diferencial para $a =\ddot{x}$ tal que queremos resolver para $x(t)$ en $$ F(x(t),\dot{x}(t),t) = m\ddot{x}(t)$$ Sin embargo, en muchas situaciones físicas, la función $F(x,\dot{x},t)$ no depende de $\dot{x}$ o $t$ es decir, la fuerza no es más que un campo vectorial. Este es el caso, por ejemplo, de todas las fuerzas conservativas, que son campos gradientes de potenciales escalares.

Por otra parte, muchas fuerzas de fricción como Fricción de Stokes dependen de la velocidad de la partícula, por lo que no son campos vectoriales sobre el espacio, ya que pueden tener valores diferentes en un mismo punto del espacio dependiendo de la velocidad que tenga allí el objeto en movimiento.

Answer 2

En mecánica de cuerpos rígidos $\bf{F}$ no es un campo vectorial porque para acelerar un cuerpo rígido (centro de masa) con $\bf{a}$ se aplica una fuerza $\bf{F}$ independientemente de dónde se aplica. La ubicación de la fuerza no afecta al movimiento del centro de masa.

Por otra parte, la aceleración $\bf{a}$ es un campo vectorial porque las diferentes partes de un cuerpo rígido en rotación aceleran de forma diferente. Pero la velocidad de rotación $\boldsymbol{\omega}$ y aceleración $\boldsymbol{\alpha}$ no lo son porque se comparten con todo el cuerpo rígido.

Además, el par neto aplicado $\bf{T}$ es un campo vectorial porque (casi) siempre se define como una fuerza a una distancia $\bf{T} = \bf{r} \times \bf{F}$ y, por tanto, la localización de la fuerza $\bf{F}$ cambia el par. Un par puro (o un par de fuerzas) no es un campo vectorial porque su ubicación no es importante.

Answer 3

El lado derecho de la ecuación de Newton $\mathbf F=m\ddot {\mathbf x}$ es un campo vectorial a lo largo de la curva $\mathbf x(t)$ . El LHS, dependiendo del contexto, podría ser:

1. Un vector constante, por ejemplo $\mathbf F=m\mathbf g.$
2. Un campo vectorial, por ejemplo, $\mathbf F=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf x}.$
3. Una función con valor vectorial definida en el espacio tangente $T\mathbb R ^3\simeq \mathbb R ^3 \times \mathbb R ^3$ por ejemplo, $\mathbf F = q\mathbf E (\mathbf x ,t)+ q\mathbf v \times \mathbf B (\mathbf x ,t).$

No hay ninguna dificultad en igualar un campo vectorial a lo largo de una curva como $m\ddot {\mathbf x}$ a cualquiera de los objetos 1, 2 o 3. Por eso los físicos suelen hablar de $\mathbf F$ simplemente como "vector". En la relatividad restringida se utiliza el mismo lenguaje laxo y se habla de la masa de una partícula o de su tiempo propio simplemente como "escalares". El primer elemento es sólo un número, mientras que el segundo es un campo escalar a lo largo de la línea del mundo de la partícula $^1$ .

También se puede formular la ecuación de Newton puramente en términos de campos vectoriales, pasando a una formulación de "espacio de fase de velocidad": $$\dot {\mathbf x}=\mathbf v \\ \dot {\mathbf v} = \mathbf F (\mathbf x ,\mathbf v,t).$$ Ahora, la "fuerza" $(\mathbf v,\mathbf F)$ es un campo vectorial honesto en $\mathbb R ^3 \times \mathbb R ^3$ (que puede depender paramétricamente del tiempo $t$ ).

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$^1$ Este ejemplo también muestra que generalmente hay que distinguir entre un campo tensorial a lo largo de un trayectoria y un campo tensorial a lo largo de a parametrización . El tiempo adecuado no depende de la parametrización particular $x^\mu = x^\mu (\lambda)$ mientras que la fuerza de Lorentz, por supuesto, sí.

Answer 4

Es un campo vectorial. En general, una fuerza (por ejemplo, la fuerza aplicada por un campo eléctrico sobre una carga) depende de la posición en el espacio (basta pensar en la fuerza eléctrica de una carga puntual) y, por tanto $F = F(x,y,z)$ es un campo.

Aquí tampoco hay ambigüedad, ya que un vector no es más que un campo vectorial constante (como un número no es más que una función constante).

Edición: Creo que tu confusión podría venir enteramente de la palabra "campo", así que quiero aclararlo un poco más.

Un campo no es más que una función normalmente del dominio de $\mathbb{R}^n$ para $n \ge 2$ es decir, una función multivaluada. A vector se refiere a un mapa $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ (lo que, por supuesto, está muy lejos de una definición general del término campo vectorial, por ejemplo, como sección de un haz vectorial). Como esta función toma sus valores en $\mathbb{R}^n$ se transforma automáticamente en un vector y, por tanto, es un vector para cada n-tupel $(x_1,\ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ .