Estoy intentando resolver un problema del libro "Series e integrales de Fourier" de McKean. :)
Problema:
Demostrar que el grupo $\mathbb{Z}^\wedge$ (el dual de $\mathbb{Z}$ ) es isomorfo a $S^1$ .
Me han dado que $e_n\mapsto n$ da un isomorfismo entre $(S^1)^{\wedge}$ y $\mathbb{Z}$ . Intenté imitar un poco la idea y acabé construyendo la función:
$$\begin{cases}f:S^1\to\mathbb{Z}^{\wedge}\\ \alpha\mapsto \chi_{\alpha}. \end{cases}$$
En el libro, definen $S^1$ como "El círculo $[0,1)$ bajo adición modulo $1$ ". Cuando leo la frase, la interpreto como que la operación es la suma en el círculo unitario, es decir, si $\alpha,\beta\in S^1$ entonces $\alpha+\beta\in S^1$ . Pero no creo que esta sea la interpretación correcta, ya que $\alpha=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ y $\beta=1$ están ambas en el círculo unitario, pero $\alpha+\beta=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $|\alpha+\beta|=\sqrt{3}$ que nos muestra que $\alpha+\beta\not\in S^1$ . Como sé que la multiplicación de números complejos en el círculo unidad nos da un grupo, acabé pensando que se referían a eso. Aunque no sé cómo podría interpretar la frase anterior como multiplicación.
Lo que ahora tenemos que hacer es demostrar $f$ es un homomorfismo, biyectivo, continuo y que su inversa es continua.
Homomorfismo:
Para la parte del homomorfismo, tenemos $f(\alpha\beta)=\chi_{\alpha\beta}(z)=(\alpha\beta)^z=\alpha^z\beta^z=f(\alpha)f(\beta)$ .
$\text{ }$
Bijection:
Tengo dos sugerencias para la inyectividad. O bien consideramos la ecuación $f(\alpha)=f(\beta)$ y tratar de concluir $\alpha=\beta$ o intentamos demostrar que el núcleo es trivial.
Para la primera sugerencia, tenemos que $f(\alpha)=f(\beta)\iff\alpha^z=\beta^z\iff \alpha^z-\beta^z=0$ y conozco un factor para $\alpha^z-\beta^z$ será $\alpha-\beta$ . Quizás podamos utilizarlo para concluir $\alpha=\beta$ ?
Para mi segunda sugerencia, tenemos que $f(1)=\chi_1$ y $\chi_1(z)=1^z=1$ esto nos muestra $1\in S^1$ se asigna a la identidad en $\mathbb{Z}^{\wedge}$ . Tal vez sea trivial que este sea el único elemento que se asigna a $1\in\mathbb{Z}^{\wedge}$ ¿y este es el mejor enfoque?
En realidad no tengo ninguna sugerencia ni idea de cómo demostrar que el mapa es suryectivo.
$\text{ }$
Continuidad:
Tenemos que comprobar $f(\alpha)=\alpha^{z}$ es continua para todo $z$ . Pero como $f(\alpha)=\alpha^z$ es una función de $S^1$ à $S^1$ . Dado que es una restricción del mapa $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ definido por $\alpha\mapsto\alpha^z$ que es continuo, el mapa $f(\alpha)=\alpha^z$ también es continua.
$\text{ }$
Continuidad - Función inversa:
Por desgracia, no sé ni por dónde empezar. ¿Cómo debo construir una función inversa? ¿Puedo "simplemente" definirla como $\chi_{\alpha}\mapsto\alpha?$ ¿Cómo puedo demostrar que es continua?
Mis preguntas son:
- ¿Es correcta mi interpretación de la estructura del grupo? Si no es así, ¿puede orientarme en la dirección correcta para ayudarme a entender este problema y poder resolverlo?
- ¿Es correcta mi solución para la parte del homomorfismo y la continuidad?
- ¿Qué opina de la prueba de la inyección? ¿Cree que puede ayudarme a concluir que es, en efecto, inyectiva?
- ¿Puedes ayudarme con la suryección y el mapa inverso?
Agradezco cualquier ayuda, ¡gracias!
