¿Puede alguien explicar por qué la 3ª operación aplicada a un sistema crea un sistema equivalente con la misma solución?
Operaciones de fila elementales.
1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplica una fila por un número distinto de cero.
3. Suma una fila a otra multiplicada por un número.
Piénsalo como si se tratara de un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, $$x+2y=0\\3x+4y=4$$ Al multiplicar la ecuación $1$ por un cierto número, digamos $-3$ la ecuación se convierte en $-3x-6y=0$ que no cambia ningún valor de las variables.
A continuación, añadir esta nueva ecuación a la segunda ecuación, ahora se convierten en $-2y=4$ y ahora puede resolver $x$ y $y$ .
Así que es básicamente el mismo proceso que para resolver un sistema de ecuaciones con múltiples variables, esto es sólo cambió a la forma de matriz.
Un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuación matricial del tipo $ Ax = a$ entonces las tres operaciones indicadas son las siguientes transformación de la ecuación matricial $ Ax = b$ en la matriz ecuación $PAx = Pa$ donde $P$ es una matriz invertible, por lo que dos ecuaciones matriciales tienen las mismas soluciones.
trasformación en el paso (1) $R_i$ à $R_j$ es decir $P = (a_ {kl})$ donde $a_{ij}=a_{ji}=a_ {kk}=1$ para todos $k$ , $i\not=k\not=j$ y $a_ {kl}=0$ para todos los demás $k, l$ .
en el paso (2) $R_i$ à $\lambda R_i$ con $\lambda\not=0$ es decir $P = (a_ {kl})$ donde $a_{ii}=\lambda$ , $a_{jj}=1, j\not=i$ y $a_ {kl}=0$ para todos los demás $k, l$ .
en el paso (3) $R_i $ à $R_i+\lambda R_j$ es decir $P = (a_ {kl})$ donde $a_{ij}=\lambda$ , $a_{kk}=1$ y $a_ {kl}=0$ para todos otros $k, l$ .
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