Término fuente en una EDP

Question

En este momento estoy estudiando la teoría de las EDP y muchas veces encuentro ecuaciones con una función, digamos $F(x,t)$ en el lado derecho, que se denomina término fuente. Ahora, me gustaría entender cuál es la intuición detrás de esto. Sé que la mayoría de las veces estas funciones pueden ser casi lo que quieras que sean. Pero, ¿cuál es la idea que hay detrás de introducirlas? ¿Puede alguien explicarme, quizás con un ejemplo sencillo, la idea física que hay detrás? No tengo conocimientos de física.

Answer 1

Otro ejemplo distinto de la ecuación de Poisson de la electrostática (mencionada en los comentarios) es la conducción del calor. Se trata de un caso especial de los fenómenos generales de difusión y se modela mediante la ecuación de ecuación de calor no homogénea $$ \partial_t u - \Delta u = f $$ $$u(0,x) = u_0(x) $$ donde $u(t,x)$ es la temperatura en el momento $t$ en el lugar $x$ .

En $u_0$ es el condición inicial es decir, describe la temperatura en cada lugar en nuestro momento inicial (que hemos elegido que sea $t=0$ ).

En $f$ es el término fuente y $f(t,x)$ describe si el medio se calienta ( $f(t,x)>0$ ) o refrigerado ( $f(t,x)<0$ ) en el momento $t$ y colocar $x$ .

Answer 2

La palabra "fuente" puede ser un poco engañosa porque su interpretación precisa depende de la física que haya detrás de la ecuación considerada. Mi formación es en mecánica de sólidos, así que puedo darle un ejemplo específico de la mecánica. Se puede demostrar que la ecuación de onda estándar describe deflexiones de pequeña amplitud $u$ de una fina membrana elástica de extensión infinita: $$ T\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)=\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}. $$ Físicamente, esta ecuación establece la segunda ley de Newton (conservación del momento). Los términos de la izquierda están asociados a la fuerza elástica restauradora, mientras que el término de la derecha está asociado a la inercia. Esencialmente, esta ecuación supone que la fuerza de restauración y la inercia son las únicas fuerzas que actúan sobre la membrana. La única manera de producir soluciones no triviales (ondas) en una membrana de este tipo es utilizando condiciones iniciales distintas de cero.

Otra posibilidad es imaginar "fuentes", fuerzas externas que actúan sobre la membrana. Pueden introducirse explícitamente en la ecuación de onda mediante un término adicional (no homogéneo) $p(x,y,t)$ : $$ T\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)=\rho\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-p(x,y,t). $$ Obviamente, la función $p(x,y,t)$ representa una forma muy general de forzamiento externo. Cuando se habla de "fuente", a menudo se hace referencia a un forzamiento estructurado o localizado en el espacio o en el tiempo. Por ejemplo, podemos imaginar una fuente de ondas planas armónicas en el tiempo a $x=-\infty$ que se representaría mediante la función de forzamiento $p(x,y,t)=P\exp(i(kx-\omega t))$ .

Muy útiles en las aplicaciones son las funciones fuente generalizadas, que representan situaciones de carga puntual idealizadas. Función fuente $p(x,y,t)=P\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(t)$ puede representar una carga puntual instantánea. Otra función útil es una fuente puntual armónica en el tiempo $p(x,y,t)=P\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\exp(i\omega t)$ ( $\delta$ denota la función delta de Dirac). Se puede pensar en esta fuente como el modelo de un transductor situado en el punto $(x_0,y_0)$ que vibra a una frecuencia fija $\omega$ y se observa en el campo lejano, es decir, el tamaño del transductor debe ser pequeño en relación con la distancia al observador. Si dicha fuente actúa sobre la membrana durante un tiempo suficientemente largo, se puede imaginar que los efectos de las condiciones iniciales se extinguirán y las únicas perturbaciones restantes serán estacionario es decir, independiente del tiempo. Esto puede escribirse más explícitamente buscando $u(x,y,t)=u(x,y)\exp(i\omega t)$ que transforma la ecuación de onda hiperbólica original en la ecuación elíptica de Helmholtz: $$ T\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+\rho\omega^2 u=-P\delta(x-x_0)\delta(y-y_0). $$ Las respuestas de Willie Wong y Dirk demuestran ejemplos de fuentes para ecuaciones parabólicas. Así pues, el concepto de fuente puede tener sentido para cualquier tipo de EDP.

Answer 3

Tomemos la ecuación de un circuito LCR estándar . El lado izquierdo consta de un término para la tensión debida a la resistencia, un término para la tensión debida a la inductancia y un término para la caída de tensión debida a la capacitancia. El lado derecho es la emf debida a una fuente, como una batería, una tensión alterna, etc., que incide sobre el sistema. Los términos de resistencia, inductancia y capacitancia comparten una parte de esta emf de la fuente. Por lo tanto, el lado derecho es la fuente. La física de la EDP puede describir diferentes situaciones, como el movimiento bajo fricción, o la ecuación dinámica de un fluido viscoso, o la conducción de calor, etc. Pero las matemáticas son las mismas en todos los casos.