Deje $k$ ser un campo, $I$ $J$ son ideales de a $R=k[x_1,\dots,x_n]$. Si $R/I\simeq R/J$ como anillos, a continuación, $I \simeq J$ $R$- los módulos se mantiene?
Gracias de antemano!
Respuesta
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La afirmación no es cierta. Un contraejemplo:
Vamos $R=k[w,x,y,z]$, $I=(w,x)$, y $J=(y,z)$. Observe que $R/I\cong R/J$ como anillos. Ahora, supongamos que el $I\cong J$ $R$- módulos y deje $f:I\to J$ ser un isomorfismo.
A continuación,$0=f(xw-wx)=xf(w)-wf(x)$, de modo que $xf(w)=wf(x)$. Por única factorización en $R$, se deduce que el $f(w)=wp$ $f(x)=xp$ algunos $p\in R$. Desde $f$ es un isomorfismo, es surjective, por lo que debe existir $a,b\in R$ con:
$$y=f(aw+bx)=af(w)+bf(x)=(aw+bx)p$$
Buscando en grados, llegamos a una contradicción.
