Encontrar la máxima probabilidad global de que Alice gane

Question

Alice le da dos opciones a Bob. Si Bob elige la opción 1, la probabilidad de ganar de Alice es $\dfrac{(a + b)^2}{2(a^2 + b^2)}$ y para la opción 2 es $\dfrac{(a + c)^2}{2(a^2 + c^2)}$ . Encuentra la máxima probabilidad global de que Alice gane.

Una nota, $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$ . Tengo entendido que la máxima probabilidad global de que Alice gane, elija lo que elija Bob, es la mitad de la suma de estas dos cantidades. ¿Estoy en lo cierto? Porque Bob puede elegir cualquiera de las dos opciones con un 50% de probabilidad.

Sin embargo, en el referencia (página 3) que estoy siguiendo, el autor dice que la máxima probabilidad de ganar de Alice viene dada por $$\frac{1}{4}(2a^2 + 2ab + 2ac + b^2 + c^2).$$ No veo cómo ésta es la expresión correcta. ¿alguna ayuda?

Answer 1

Creo que la cuestión aquí es que necesitas entender un poco mejor el contexto. El documento dice

Si Bob obtiene el resultado 1, entonces Alice no puede ganar. Por otro lado, si Bob obtiene el resultado 0, el estado del sistema restante se convierte en .... y Alice puede ganar si puede pasar la prueba de Bob en el paso final del protocolo. del protocolo. .... Por tanto, Alice no puede engañar a Bob haciéndole creer que era honesta con una probabilidad mayor que .....

Esta última probabilidad ( $\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)}$ ) es la probabilidad condicional de que, dado que Bob ha obtenido 0, Alice pueda ganar. Lo que quieres es la probabilidad global. Me imagino (sin haberla calculado) que para este término, que es $$ \frac{(a+b)^2}{4}, $$ y obtendrás algo similar para el otro término, $$ \frac{(a+c)^2}{4}, $$ y sumando los dos te dará lo que quieres.