Distancia entre dos líneas paralelas teniendo ecuaciones lineales

Question

Me pregunto de dónde viene esta fórmula. Es para encontrar la distancia entre dos líneas paralelas cuando tenemos su ecuación lineal: La primera línea es: $ax+by+c=0$ La segunda línea es: $ax+by+c_1=0$ Su distancia es: $$\frac{|c-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Answer 1

CONSEJO

Calcula la distancia de cada línea desde el origen que es

$$d=\frac{|a\cdot0+b\cdot0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

luego toma

• $|d_1-d_2|$ para la línea en el mismo lado ($c$ y $c_1$ tienen el mismo signo)
• $|d_1+d_2|$ para la línea en lados diferentes ($c$ y $c_1$ tienen signos diferentes)

de donde se obtiene la fórmula dada.

Answer 2

Alternativamente: la línea perpendicular que pasa por el origen es: $bx-ay=0$. Cruza las dos líneas paralelas en: $$\left(-\frac{ac}{a^2+b^2},-\frac{bc}{a^2+b^2}\right) \ \ \text{y} \ \ \left(-\frac{ac_1}{a^2+b^2},-\frac{bc_1}{a^2+b^2}\right).$$ La distancia entre estos puntos es: $$d=\sqrt{\left(\frac{a(c-c_1)}{a^2+b^2}\right)^2+\left(\frac{b(c-c_1)}{a^2+b^2}\right)^2}=\frac{|c-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Answer 3

Considera $ax+by+c=0$, asume $a,b,c \neq 0.$

$y=0$: Intersección en $X$: $x=-c/a;$

$x=0$: Intersección en $Y$: $y=-c/b.$

$A(-c/a,0); B(0,-c/b);$ $O(0,0);$

forman un triángulo rectángulo $\triangle ABO$ con

longitudes de los catetos $|c/a|$ y $|c/b|.$

Longitud de la hipotenusa: $\sqrt{(c/a)^2+(c/b)^2}.$

La altura, $h$, en $AB$ es la distancia deseada al origen:

Área de $\triangle ABO$ :

Área $= (1/2)|c/a||c/b| = (1/2)h\sqrt{(c/a)^2+(c/b)^2}.$

Resolver para $h:$

$h= \dfrac{c^2}{|ab|}\dfrac {|ab|}{|c|\sqrt{(a^2+b^2)}}$.

$h =\dfrac{|c|}{a^2+b^2}$.

Lo que queda por hacer :

Lo anterior te da la distancia de una línea desde el origen, independientemente del signo de $c.$

Ahora tienes 2 líneas, con $c,c_1.$

Encuentra la distancia entre ellas.

(¿La respuesta de gimusi te ayuda?)

Answer 4

Como alternativa, supongamos sin pérdida de generalidad que $b\neq 0$, luego se traduce verticalmente con $by\to by-c_1$ y se obtiene

• $ax+by+c=0\to ax+by+c-c_1=0$
• $ax+by+c_1\to ax+by=0$

entonces la distancia entre las dos líneas es igual a la distancia de la línea traducida $ax+by+c-c_1=0$ desde el origen, que es de hecho la expresión dada.