En este problema sé que $X\sim B(m,n)$ y $(1-X)\sim B(n,m)$ Tras introducir los valores en $Y_i$ Tengo esto $\dfrac{x^2}{1-x^2}$ No tengo ni idea de qué hacer. Estoy confundido.
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Richard Clare
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Pista: Encuentre el MGF de $Y_i$ (después de tener la densidad) y luego utilizarlo para calcular la distribución de $U_n$ entonces $\alpha$ debería ser la desviación típica de la distribución resultante por el teorema del límite central.
Editado: Esto te será útil:
La siguiente varianza de la variable X dividida por su imagen especular ( $X/(1−X)$ da como resultado la varianza de la "distribución beta invertida" o distribución beta prima (también conocida como distribución beta de segundo tipo o tipo VI de Pearson):
${\displaystyle \operatorname {var} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {1}{1-X}}-\operatorname {E} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]\right)^{2}\right]=\operatorname {var} \left[{\frac {X}{1-X}}\right]=} $
${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X}{1-X}}-\operatorname {E} \left[{\frac {X}{1-X}}\right]\right)^{2}\right]={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2} $
Basta con hallar la desviación típica de $Y_{i}$ . Para ello definiremos en primer lugar una variable aleatoria $W\sim\text{Gamma}(p)$ ( $p>0$ ) si $W$ tiene densidad $$ f_W(w)=\frac{1}{\Gamma(p)}w^{p-1}e^{-w}\quad (w>0). $$ Es fácil ver que $EW^d=\frac{\Gamma(p+d)}{\Gamma(p)}$ por la definición de la función gamma. Ahora $X_i\stackrel{d}{=} X$ donde $$ X=\frac{Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}};\quad Z_{1}\perp Z_{2};\quad Z_{1}\sim \text{Gamma}(6), Z_{2}\sim \text{Gamma}(4). $$ Entonces $$ Y_{i}\stackrel{d}{=} \frac{Z_{1}/(Z_{1}+Z_{2)}}{Z_{2}/(Z_{1}+Z_{2)}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}. $$ Ahora $$ \text{Var}(Y_{i})=EZ_{1}^{2}Z_{2}^{-2}-(EZ_{1}Z_{2}^{-1})^2. $$ Pero luego usando el hecho de que $Z_{1}\perp Z_{2}$ tenemos que $$ EZ_{1}^{2}Z_{2}^{-2}=EZ_{1}^{2}\cdot EZ_{2}^{-2}=\frac{7(6)}{3(2)}=7 $$ y $$ EZ_{1}Z_{2}^{-1}=EZ_{1}\cdot EZ_{2}^{-1}=\frac{6}{3}=2. $$ Así $$ \text{Var}(Y_{i})=7-2^2=3\implies\sigma(Y_{i})=\sqrt{3}. $$ La respuesta es (C).
