Determinar el valor de $k$ de modo que los puntos P(-8,10), Q(2,-4) y R(22,k) son colineales

Question

Creo que se trata de un problema extremadamente sencillo, pero mi respuesta difiere de la de la hoja de respuestas. Me pregunto si me falta algún concepto. Mi respuesta es 24, pero en la hoja de respuestas es 12.

Determinar el valor de $k$ para que los puntos P(-8,10), Q(2,-4) y R(22,k) sean colineales.

Answer 1

Hay muchas formas de hacerlo. Para que las cosas sean colineales, sus pendientes tienen que ser iguales. La pendiente de $PQ=\frac{-7}{5}$ . Entonces la pendiente de $QR $ debe ser igual a la pendiente de $PQ$ . $\frac{k+4}{20}=\frac{-7}{5}$ . Por lo tanto, $k=-32$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $P$ , $Q$ y $R$ son colineales si y sólo si los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$ son paralelas. Pero dos vectores son paralelos si y sólo si su producto cruzado es el vector cero. Por lo tanto $P$ , $Q$ y $R$ son colineales si y sólo si $$ \vec 0=\vec{PQ}\times\vec{PR}=\left(10,\,-14,\,0\right)\times \left(30,\,k - 10,\,0\right)=\left(0,\,0,\,10 \, k + 320\right) $$ Desde $10\,k+320=0$ sólo si $k=-32$ se deduce que $P$ , $Q$ y $R$ son colineales si y sólo si $k=-32$ .