La compacidad en la topología débil

Question

Sea $X$ sea un espacio de Banach, y sea $X^*$ denota su espacio dual continuo.

En la topología débil*, ¿coinciden la compacidad y la compacidad secuencial?

Es decir, es un subconjunto de $X^*$ débilmente* compacto si y sólo si es débilmente* secuencialmente compacto? ¿Implica una cosa la otra?

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Tal vez debería hacer de esta siguiente una pregunta aparte, pero prefiero mantener todo esto en un solo lugar.

¿Es la topología débil* en $X^*$ ¿Hausdorff? ¿Es la topología débil en $X$ ¿Hausdorff?

Motivación: Me gustaría decir que si un subconjunto de $X^*$ es débilmente* compacto, entonces es débilmente* cerrado, y que si un subconjunto de $X$ es débilmente compacta, entonces es débilmente cerrada.

Answer 1

Permítame responder primero a su segunda pregunta.

Los débiles $^{\ast}$ -la topología es Hausdorff (permítanme tratar el caso real, el caso complejo es similar): Si $\phi \neq \psi$ son dos funcionales lineales, entonces existe $x \in X$ tal que $\phi(x) \lt r \lt \psi(x)$ . Los conjuntos $U = \{f \in X^{\ast} \,:\,f(x) \lt r\}$ y $V = \{f \in X^{\ast}\,:\,f(x) \gt r\}$ son débiles $^{\ast}$ -open (ya que la evaluación en $x$ es débil $^{\ast}$ -continua) y vecindades disjuntas de $\phi$ y $\psi$ respectivamente.

Que la topología débil es Hausdorff se demuestra de forma similar, utilizando Hahn-Banach.

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A continuación, si $X$ es separable, entonces la bola unitaria en el espacio dual es metrizable con respecto al débil $^{\ast}$ -topología: elegir un conjunto denso contable $\{x_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ de la bola unitaria de $X$ y verifique que \[ d(\phi,\psi) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} |frac{|\phi(x_n) - \psi(x_n)|} {1+|\phi(x_n) - \psi(x_n)|} \] define una métrica compatible con la débil $^{\ast}$ -topología. Por lo tanto la bola unitaria es secuencialmente compacta en la débil $^{\ast}$ -topología (por cierto, esto puede demostrarse directamente utilizando Arzelà-Ascoli).

Utilizando un argumento estándar de la categoría Baire, se puede demostrar que débil $^{\ast}$ -Los conjuntos compactos están limitados por normas: En efecto, si $K$ es débil $^{\ast}$ -es un espacio de Baire. Escribe $B^{\ast}$ para la bola unitaria cerrada en $X^{\ast}$ . Claramente $K = \bigcup_{n = 1}^{\infty} (K \cap n \cdot B^{\ast})$ por lo que al menos uno de los subconjuntos cerrados $K \cap n \cdot B^{\ast}$ de $K$ debe tener un interior no vacío. Por compacidad finitamente muchos traslados de $n\cdot B^{\ast}$ debe cubrir $K$ Así pues $K$ tiene norma acotada y, por tanto $K$ es un subconjunto cerrado de una bola suficientemente grande.

Conclusión: Si $X$ es separable, entonces cada $^{\ast}$ -subconjunto compacto de $X^{\ast}$ es secuencialmente compacta.

No sé si lo contrario es cierto.

Si $X$ no es separable, entonces débil $^{\ast}$ -compacta no implica débil $^{\ast}$ -compacidad secuencial, el ejemplo estándar se menciona en el post de Florian.

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Como también te puede interesar la topología débil, hay un resultado bastante difícil debido a Eberlein:

Recordemos que un espacio es contablemente compacto si cada contable tiene una subcubierta finita. Un espacio secuencialmente compacto es contablemente compacto.

Teorema (Eberlein) Si un subconjunto de un espacio de Banach es débilmente contablemente compacto, entonces es débilmente compacto y débilmente secuencialmente compacto.

y finalmente:

Teorema (Eberlein-Šmulian) A delimitado de un espacio de Banach es débilmente compacto secuencialmente si y sólo si es débilmente compacto. En particular, si la bola unitaria es débilmente compacta secuencialmente, entonces $X$ es reflexivo.

Answer 2

(i) No. Considerar $\ell^\infty$ (secuencias acotadas). La bola unitaria de ${\ell^\infty} ^*$ es compacta según el teorema de Alaoglu, pero no secuencialmente compacta: la secuencia de funcionales $a\mapsto a(n)$ (elegir el enésimo elemento de la secuencia $a\in \ell^\infty$ ) está acotada, pero no tiene una subsecuencia *débilmente convergente.

(ii) Sí. Para la topología débil* esto se deduce directamente de la definición; para la topología débil se deduce del teorema de Hahn-Banach.

Answer 3

Para una amplia fuente de contraejemplos a su primera pregunta y preguntas similares, vamos a $K$ cualquier espacio compacto de Hausdorff y $X=C(K)$ . A continuación, para cada $x\in K$ hay un funcional en $X$ dada por la evaluación en $x$ y esto define un mapa $K\to X^*$ que se ve fácilmente que es una incrustación con respecto a la topología débil* (es continua porque $X$ consiste en funciones que son continuas en $K$ y su inversa es continua por el lema de Urysohn). Por lo tanto, si se toma $K$ sea cualquier espacio compacto de Hausdorff que no sea secuencialmente compacto, se obtiene un subconjunto de un espacio dual de Banach que es débil* compacto pero no débil* secuencialmente compacto.

En términos más generales, esto demuestra que cualquier subespacio de un espacio compacto de Hausdorff (es decir, cualquier espacio completamente regular) puede incrustarse como subconjunto acotado de un espacio dual de Banach con la topología débil*. En particular, tomando cualquier espacio completamente regular que sea secuencialmente compacto pero no compacto (por ejemplo, $\omega_1$ ), se obtiene tal subconjunto de un espacio dual de Banach.