Como antecedente, recordemos que la ecuación de Jacobi (también conocida como ecuación de la desviación geodésica) determina la evolución del campo de Jacobi, interpretado como un vector de desviación entre dos geodésicas "infinitesimalmente cercanas". En concreto, sea $u^a$ sea el vector tangente a una geodésica y sea $\eta^a$ sea un campo de Jacobi a lo largo de ella. Entonces la ecuación de Jacobi dice que $$ u^a\nabla_a (u^b \nabla_b \eta^c) + R_{abd}^{\phantom{abd}c} u^a u^d \eta^b = 0, $$ donde $R_{abcd}$ es el tensor de Riemann del espacio ambiente.
Mi pregunta es la siguiente: puesto que una geodésica no es más que un caso especial de superficie mínima, ¿existe alguna ecuación análoga para el campo vectorial de desviación entre dos superficies mínimas (o más generalmente, extremas) "infinitesimalmente cercanas"? Es decir $\Sigma$ sea una superficie mínima (de cualquier dimensión y codimensión) y sea $\eta^a$ sea un campo vectorial de desviación en $\Sigma$ a alguna superficie mínima infinitesimalmente cercana (más rigurosamente: sea $\Sigma_t$ sea una familia uniparamétrica de superficies mínimas con $\Sigma = \Sigma_0$ entonces defina $\eta^a = (\partial_t)^a$ ). ¿Existe una ecuación de la forma $$ D^2 \eta^a + R_{bcd}^{\phantom{bcd}a} h^{bd} \eta^c = \mathrm{stuff}, $$ donde $D^2$ es el Laplaciano en $\Sigma$ , $h^{ab}$ es la métrica inducida (inversa) en $\Sigma$ y los términos "materia" son lineales en $\eta^a$ y puede contener cosas como las curvaturas (intrínseca y extrínseca) de $\Sigma$ ?
Sólo he podido encontrar respuestas parciales a esta pregunta. Creo que la ecuación que quiero puede estar relacionada con el llamado operador de Jacobi o de estabilidad de una superficie mínima, relacionado con la fórmula de la segunda variación del área (como se ha dicho aquí ), pero por lo que veo el operador de Jacobi está definido para actuar sobre funciones (no sobre vectores, como yo quiero), y la mayoría de las referencias que veo se refieren a superficies embebidas en 3-manifolds riemannianos (es decir, no parecen referirse a dimensiones completamente generales). Además, las fuentes que he visto derivan ecuaciones integrales para la segunda derivada del área bajo alguna perturbación, mientras que yo quiero una ecuación diferencial para el campo de Jacobi.
También he encontrado este de referencia (concretamente el apartado 5.1) que sí parece hacer las cosas en dimensiones generales, pero se encuentra con el mismo problema de que sólo obtiene una expresión integrada.
(Como puede deducirse, me formé en relatividad general, por lo que estoy acostumbrado a un tipo de notación distinta de la habitual en la literatura matemática; ¡puede ser que encontrara lo que quería pero no pudiera traducirlo a un lenguaje familiar!)
