Estoy viendo un ejercicio en el que aparece esta suma $\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2n+1-k}$ y vi en mi libro de texto que debería ser igual a $\sum_{u=n+1}^{2n+1}\binom{2n+1}{u}$ . Sustituí a la primera suma $2n+1-k$ con $u$ y obtengo esta suma: $\sum_{u=2n+1}^{n+1}\binom{2n+1}{u}$ . ¿Cómo encontraron el resultado? ¿Puedo cambiar los términos $n+1$ y $2n+1$ porque $n+1$ ¿es más pequeño?
Respuestas
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A veces ayuda escribir los términos.
\begin{align*} \sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2n+1-k} &= \binom{2n+1}{2n+1} + \binom{2n+1}{2n} + \dots + \binom{2n+1}{n+2} + \binom{2n+1}{n+1}\\ \\ \sum_{u=n+1}^{2n+1}\binom{2n+1}{u} &= \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n} + \binom{2n+1}{2n+1}. \end{align*}
Así que las dos sumas son iguales, sólo invierten el orden de los sumandos.
Para ver esto mediante un cambio de índice, dejemos que $u = 2n+1-(n-k)$ para que $u = n+1+k$ como $k$ va de $0$ a $n$ , $u$ va de $n+1+0 = n+1$ a $n+1+n = 2n+1$ . Se puede pensar en esto como una combinación de dos cambios de índice, primero $w = n - k$ invierte el orden de los términos y, a continuación $u = 2n+1-w$ desplaza el índice.
mrs.imran
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Aplicando el teorema de la smetría, tenemos que. $$\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2n+1-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}$$ y de $$\sum_{k=0}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}+\sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}$$ seguir que $$\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}=\sum_{k=n+1}^{2n+1}\binom{2n+1}{k}$$
TrialAndError
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$\sum_{k=0}^{n}{{2n+1}\choose{2n+1-k}}=\sum_{k=0}^{n}{{2n+1}\choose{k}}=\sum_{k=n+1}^{2n+1}{{2n+1}\choose{k}}$
La primera igualdad se mantiene porque se mantiene para cada término. La segunda igualdad se cumple porque la suma de la primera mitad del $2n+2$ coeficientes es igual a la suma de la segunda mitad.
Aclaración: Asumo que sabes $$ {{2n+1}\choose{k}} =\frac{(2n+1)!}{k!(2n+1-k)!}=\frac{(2n+1)!}{(2n+1-k)!k!}= {{2n+1}\choose{2n+1-k}}. $$ Así se obtiene la primera igualdad. La segunda igualdad, proviene del emparejamiento anterior, pero donde los términos de la tercera suma se escriben en orden inverso al de la segunda suma.
