Covarianza de dos variables aleatorias correlacionadas

Question

Supongamos que tenemos variables aleatorias $A,B$ con desviaciones $\sigma^2(a)$ y $\sigma^2(b)$ respectivamente. Que tengan cierta correlación, es decir $cor(A,B) = \rho$ . Ahora quiero calcular $cov(A+B,A-B)$ .

Para ello he utilizado la siguiente fórmula: $$cov(aX+bY, cW + dV) = ac\sigma(X,W) + ad\sigma(X,V) + bc\sigma(Y,W) + bd\sigma(Y,V)$$ Tras sustituir $A,B$ cuando proceda y dejando $d=-1$ obtenemos que $cov(A+B,A-B) = \sigma^2(a) - \sigma^2(b)$ . Me pregunto si este resultado es correcto -- ¿el hecho de que $A,B$ están correlacionados con algunos $\rho$ ¿Importa algo?

Answer 1

No importa. Repitiendo su argumento anterior, tenemos $$ \DeclareMathOperator{\cov}{cov} \cov(A+B,A-B) = \cov(A,A)-\cov(A,B)+\cov(B,A)-\cov(B,B) $$ y, como la covarianza i es simétrica, entonces $\cov(A,B)=\cov(B,A)$ la correlación se anula.

Piénsalo así: Una forma de construir variables correlacionadas a partir de independientes, es la siguiente. Sea $X,Y,Z$ sean variables aleatorias independientes. Entonces definamos $A=X+Z$ , $B=Y+Z$ . Entonces calcula como arriba $$ \cov(A+B,A-B)=\cov(X+Z+Y+Z,X+Z-Y-Z)=\cov(X+Y+2Z,X-Y)=\cov(X+Y,X-Y) $$ por lo que la "parte dependiente" $Z$ cancela. Esto no es en sí mismo una prueba, ya que no todas las variables dependientes pueden representarse como arriba, pero muestra lo que puede ocurrir. La "parte dependiente" se anula.