Si la suma $$\sum_{x=1}^{100}x!$$ se divide por $36$ el resto es $9$ .
¿Pero cómo es?
ESTE me dijo que ese problema es $9\mod 36$ ¿pero cómo lo conseguimos?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farkhod Gaziev
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6
La idea es encontrar el menor número entero positivo $x$ tal que $36|(x!)$ como $(m!)| (n!)$ para $m\le n$
si $36|(x!), 36$ dividirá $y!$ para todos $y\ge x$
Aquí $m,n,x,y$ se suponen enteros positivos
Ahora, por inspección, $\displaystyle5!=120\equiv12\pmod{36},\implies 6!=6\cdot120\equiv6\cdot12\equiv0\pmod{36}$
Simon D
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1414
Hay que tener en cuenta que los números escritos en una base son una serie de restos, así por ejemplo, 1957 da 195 resto 7, y 195 da 19 resto 5, y 19 es 1 resto 9. Entonces 1957 es 1 re 9 re 5 re 7. Sumar restos es como sumar los n últimos lugares de una base.
Para $n$ !, tenemos que todos los factoriales 6! o mayores, son múltiplos de 36, así que sólo es cuestión de sumar los 5 primeros (1+2+6+24+120 = 153), y dividirlo por 36 (4 resto 9). Sólo queremos el 9.
