Los supuestos básicos de Grothendieck significan que estamos tratando con un sitio atómico conectado $\mathcal{C}$ con un punto, cuya imagen inversa es el functor de fibra $F: \mathcal{C} \to \mathcal{S}et$ :
(i) Cada flecha $X \to Y$ en $\mathcal{C}$ es un epimorfismo estricto.
(ii) Para cada $X \in \mathcal{C}$ $F(X) \neq \emptyset$ .
(iii) $F$ prescribe los epimorfismos estrictos.
(iv) El diagrama de $F$ , $\Gamma_F$ es una categoría cofiltrada.
Sea $G = Aut(F)$ sea el grupo local de automorfismos de $F$ .
Sea $F: \widetilde{\mathcal{C}} \to \mathcal{S}et$ el topos atómico puntiagudo de láminas para la topología canónica sobre $\mathcal{C}$ . Podemos suponer que $\mathcal{C}$ son los objetos conexos de $\widetilde{\mathcal{C}}$ .
(i) significa que los objetos están conectados, (ii) significa que el topos está conectado, (iii) que $F$ es continua, y (iv) que es plana.
Considerando las condiciones (iv) de preservación del límite finito más estrictas en $F$ (correspondientes a condiciones de cofiltrado más estrictas en $\Gamma_F$ ) obtenemos diferentes situaciones de Grothendieck-Galois (para más detalles y pruebas completas véase [1]):
S1) F preserva todos los límites inversos en $\widetilde{\mathcal{C}}$ de objetos en $\mathcal{C}$ es decir $F$ es esencial. En este caso $\Gamma_F$ tiene un objeto inicial $(a,A)$ (tenemos una "cobertura universal"), $F$ es representable, $a: [A, -] \cong F$ y $G = Aut(A)^{op}$ es un grupo discreto.
S2) F conserva productos arbritrarios en $\widetilde{\mathcal{C}}$ de un mismo $X \in \mathcal{C}$ (introducimos el nombre "proesencial" para tal punto [1]). En este caso existen cierres de galois (que es una propiedad de tipo cofiltro de $\Gamma_F)$ y $G$ es un grupo local prodiscreto, límite inverso en la categoría de grupos locales de los grupos discretos $Aut(A)^{op}$ , $A$ recorriendo todos los objetos galois en $\mathcal{C}$ .
S2-finito) F toma valores en conjuntos finitos. Esta es la situación original en SGA1. En este caso la condición "F preserva productos finitos en $\widetilde{\mathcal{C}}$ de un mismo $X \in \mathcal{C}$ se cumple automáticamente por la condición (iv) ( $F$ preserva los límites finitos), por lo que existen cierres galois, los grupos $Aut(A)^{op}$ son finitos, y $G$ es un grupo profinito, límite inverso en la categoría de grupos topológicos de los grupos finitos $Aut(A)^{op}$ .
NOTA. Las proyecciones de un límite inverso de grupos finitos son suryectivas. Esta es una propiedad clave. Las proyecciones de un límite inverso de grupos no son necesariamente suryectivas, pero si el límite se toma en la categoría de grupos locales, sí son suryectivas (demostrado por Joyal-Tierney). Esta es la razón por la que tenemos que tomar un grupo local en 2). Grothendieck sigue un enfoque equivalente en SGA4 tomando el límite en la categoría de los Progrupos.
S3) Ninguna condición sobre $F$ que no sea la conservación de los límites finitos (iv). Este es el caso de un topos atómico puntiforme general. El desarrollo de este caso lo denominamos "Teoría local de Galois", véase [2], cuyo teorema fundamental fue demostrado por primera vez por Joyal-Tierney.
[1] "Sobre la teoría de la representación de Galois y los topoi atómicos", JPAA 186 (2004)
[2] "Localic galois theory", Advances in mathematics", 175/1 (2003).
