Compleción del espacio métrico (mediante límites formales de secuencias de Cauchy)

Question

Estoy trabajando en la demostración del siguiente teorema (del libro Análisis 2 de T.Tao):

"Let $(X,d)$ sea un espacio métrico.

(a) Dada cualquier sucesión de Cauchy $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $X$ introducimos el límite formal $LIM_{n\to\infty} x_n$ . Decimos que dos límites formales $LIM_{n\to\infty} x_n$ y $LIM_{n\to\infty} y_n$ son iguales si $\lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n)=0$ . Demuestre que esta relación de igualdad obedece a los axiomas reflexivo, simétrico y transitivo. (HECHO)

(b) Sea $\overline{X}$ sea el espacio de todos los límites formales de las sucesiones de Cauchy en $X$ con la relación de igualdad anterior. Definir una métrica $d_{\overline{X}}\colon \overline{X}\times\overline{X}\to\mathbb{R}^+$ estableciendo $d_{\overline{X}}(LIM_{n\to\infty}x_n,LIM_{n\to\infty}y_n):=\lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n).$ Demuestre que esta función está bien definida y da $\overline{X}$ la estructura de un espacio métrico. (HECHO)

(c) Demuestre que el espacio métrico $(\overline{X},d_{\overline{X}})$ es completa".

He conseguido demostrar los dos primeros puntos, pero tengo dificultades con el tercero: Me cuesta utilizar el concepto de sucesión de Cauchy de límites formales de sucesiones de Cauchy para demostrar que una sucesión de Cauchy en $\overline{X}$ tiene un límite en $\overline{X}$ así que agradecería cualquier ayuda para probar este punto.

NOTA: Ya he intentado buscar preguntas similares pero las que he encontrado utilizan los conceptos de isometría y subconjunto denso que no se tratan en el libro que estoy leyendo.

Answer 1

Sea $(\bar{x}_k)_{k=1}^{\infty}$ sea una sucesión de Cauchy en $\bar{X}$ . Para cada $k$ podemos representar $\bar{x}_k$ como límite formal de una sucesión de Cauchy en $X$ . En particular $\bar{x}_k = LIM_{n\rightarrow \infty}x_{k,n}$ donde $(x_{k,n})_{n=1}^{\infty}$ es Cauchy en $X$ .

Nota: No queremos tomar cualquier secuencia representativa. El argumento es más fácil si utilizamos secuencias $(x_{k,n})_{n=1}^{\infty}$ satisfaciendo $d(x_{k,n},x_{k,n+1})<2^{-n}$ . Esto garantiza que las secuencias convergen uniformemente a sus puntos límite abstractos. Siempre podemos encontrar tal secuencia como una subsecuencia de cualquier secuencia que converja a $\bar{x}_k$ . Además, las partes (a) y (b) anteriores demuestran que podemos trabajar con el representante que queramos.

Ahora escribimos los términos de las secuencias \begin{align} \bar{x}_1 &\sim x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3}, x_{1,4}, \dots\\ \bar{x}_2 &\sim x_{2,1}, x_{2,2}, x_{2,3}, x_{2,4}, \dots\\ \bar{x}_3 &\sim x_{3,1}, x_{3,2}, x_{3,3}, x_{3,4}, \dots\\ \bar{x}_4 &\sim x_{4,1}, x_{4,2}, x_{4,3}, x_{4,4}, \dots\\ \vdots & \hspace{1cm} \vdots \end{align} ans afirmamos que la secuencia diagonal $(x_{n,n})_{n=1}^{\infty}$ es Cauchy en $X$ y $\bar{x}=LIM_{n\rightarrow \infty}x_{n,n}$ es el punto límite de $(\bar{x}_k)_{k=1}^{\infty}$ .

Primer paso: $(x_{n,n})_{n=1}^{\infty}$ es Cauchy: La secuencia $(\bar{x}_k)_{k=1}^{\infty}$ siendo Cauchy en $\bar{X}$ significa que para cada $\epsilon>0$ hay un $N\in \mathbb{N}$ tal que $d_{\bar{X}}(\bar{x}_k,\bar{x}_n)<\epsilon$ cuando $k,n>N$ lo que significa \begin{equation} \lim_{m\rightarrow\infty}d(x_{k,m},x_{n,m})<\epsilon. \end{equation}

Así que para $k,m,n>N$ tenemos \begin{align} d(x_{k,k},x_{n,n}) &\leq d(x_{k,k},x_{k,m})+d(x_{k,m},x_{n,m})+d(x_{n,m},x_{n,n})\\ &\leq 2^{-N}+d(x_{k,m},x_{n,m})+2^{-N} \end{align} Tomando el límite como $m\rightarrow\infty$ encontramos $d(x_{k,k},x_{n,n})\leq 2^{-N+1}+\epsilon$ , y podemos hacerlo tan pequeño como queramos aumentando $N$ .

Segundo paso: $\bar{x}$ es el límite de $(\bar{x}_k)_{k=1}^{\infty}$ :

Para $k>N$ tenemos \begin{align} d_{\bar{X}}(\bar{x},\bar{x}_{k}) &\leq \sup_{m>N} d(x_{m,m},x_{k,m})\\ &\leq \sup_{m>N} d(x_{m,m},x_{k,k})+d(x_{k,k},x_{k,m})\\ &\leq (2^{-N+1}+\epsilon) + 2^{-N}\\ &\leq 2^{-N+2}+\epsilon \end{align}