Putnam 1957, 17º problema

Question

He pasado la mayor parte del día tratando de probar la siguiente pregunta de Putnam 1957

Si $\cos B\neq \cos A$ y $k>1$ es cualquier número natural, demuestre que $$\left|\frac{\cos(kB)\cos(A)-\cos(kA)\cos(B)}{\cos(B)-\cos(A)}\right|<k^2-1$$

He intentado utilizar el teorema del valor medio para la función $f(x)=\cos[k(\cos^{-1}(x))]\cos[A+B-\cos^{-1}(x)]$ . La razón de utilizar esta función es que si $q=\cos B$ y $p=\cos A$ entonces $\left|\frac{f(q)-f(p)}{q-p}\right|=\left|\frac{\cos(kB)\cos(A)-\cos(kA)\cos(B)}{\cos(B)-\cos(A)}\right|$ . Ahora sólo tendría que demostrar que la derivada de esta función en todos los puntos está acotada anteriormente por $k^2-1$ .

También he probado a usar la expansión de Taylor para todos los cosenos. Aunque al principio parecía prometedor, obtuve un montón de términos cruzados de los que no sabía cómo deshacerme.

Otros métodos probados: números complejos, identidades trigonométricas, etc.

Al final encontré una solución aquí . Sin embargo, me interesaría conocer pruebas alternativas o más claras de esta afirmación. ¿Cómo enfocaría usted esta cuestión?

Answer 1

La desigualdad dada es equivalente a $$|\cos(kB)\cos A-\cos(kA)\cos B|<(k^2-1)|\cos B-\cos A|$$ Utilizando la fórmula $2\cos x\cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y)$ podemos reescribir la última desigualdad como $$|\cos(kB-A)+\cos(kB+A)-\cos(kA-B)-\cos(kA+B)|<2(k^2-1)|\cos B-\cos A|$$ que equivale a $$|[\cos(kB-A)-\cos(kA-B)]+[\cos(kB+A)-\cos(kA+B)]|<2(k^2-1)|\cos B-\cos A|$$ Ahora utilizamos la fórmula $2\sin x\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)$ a ambos lados de la última desigualdad para obtener la forma equivalente $$\Big|2\sin\Big((k-1)\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big((k+1)\frac{A-B}{2}\Big)+2\sin\Big((k+1)\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big((k-1)\frac{A-B}{2}\Big)\Big|\\ <4(k^2-1)\sin\Big(\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big(\frac{A-B}{2}\Big)$$ Desde $\cos A\neq \cos B$ entonces necesariamente $A\neq B$ lo que a su vez implica $(A-B)/2\neq 0$ además por suposición $k>1$ tenemos $|\sin(kx)<k|\sin x|$ (prueba por inducción como en el enlace). Ahora por desigualdad triangular tenemos $$\Big|2\sin\Big((k-1)\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big((k+1)\frac{A-B}{2}\Big)+2\sin\Big((k+1)\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big((k-1)\frac{A-B}{2}\Big)\Big|\\\leqslant 4\Big|\sin\Big((k-1)\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big((k+1)\frac{A-B}{2}\Big)\Big|\\<4(k-1)(k+1)\Big|\sin\Big(\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big(\frac{A-B}{2}\Big)\Big|\\=4(k^2-1)\Big|\sin\Big(\frac{A+B}{2}\Big)\sin\Big(\frac{A-B}{2}\Big)\Big|$$ como desee.