Si $f\colon (0+\infty) \to \mathbb R$ y $f(x)=f(2x)$ ¿qué podemos decir sobre $f$ ?

Question

Sea $f \colon (0,+\infty) \to \mathbb R$ b $$ f(x)=f(2x),\qquad \forall x \in \mathbb R. $$ ¿Qué podemos decir sobre $f$ ?

Una fácil inducción demuestra que $$ f(x)=(2^{r}x), \qquad \forall r \in \mathbb Z $$

A partir de esto creo que podemos demostrar que:

1. si $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=l \in \mathbb R$ entonces $f$ es constante. En efecto, tomemos $x \in \mathbb R$ : entonces $$ f(x)=f(2^{-n}x) $$ Dejar $n \to +\infty$ por continuidad, obtenemos $f(x)=l$ .

2. Si $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=l \in \mathbb R$ entonces $f$ es constante (misma prueba, basta con sustituir $-n$ con $n$ ).

3. Si $f$ es uniformemente continua, entonces es constante: tomemos a $\varepsilon>0$ y aribitrario $x,y \in \mathbb R$ . Entonces $$ \vert f(x) -f(y) \vert = \vert f(2^{-n}x)-f(2^{-n}y) \vert < \varepsilon $$ si tomamos $n$ suficientemente grande s.t. $\displaystyle \frac{\vert x-y \vert}{2^n}<\delta$ .

¿Está de acuerdo? ¿Cree que es correcto?

• Lo que en el caso general (sin más suposiciones sobre $f$ )? ¿Es $f$ ¿con límites? En caso afirmativo, ¿cómo podemos demostrarlo?

• ¿Y si sustituimos el número $2$ (que no tiene nada de especial para mí en esta pregunta) con un número real positivo arbitrario $a \ge 1$ ?

Nota: Me inspiré en este pregunta y especialmente de la respuesta de Davide Giraudo.

Answer 1

$f$ viene determinada por sus valores en el intervalo $[1,2)$ . En primer lugar, $f(2)=f(1)$ . Para cualquier $x>0$ existe un único $k\in\mathbb{Z}$ tal que $2^kx\in[1,2)$ Entonces $f(x)=f(2^kx)$ . De ello se deduce que $f$ está acotado y $$ \max_{x>0}f(x)=\max_{1\le x<2}f(x),\quad \min_{x>0}f(x)=\min_{1\le x<2}f(x). $$ Cualquier $y\in[\min_{x>0}f(x),\max_{x>0}f(x)]$ es un valor límite de $f$ como $x\to0^+$ y como $x\to+\infty$ . El mismo argumento es válido para cualquier $a>1$ en lugar de $2$ .

Answer 2

Tu razonamiento parece correcto, pero no puedes restringir severamente el caso general, debido a los ejemplos $$ f: x\mapsto g(\log_2(x)\bmod1) $$ donde $g$ es cualquier función continua sobre $[0,1]$ con $g(0)=g(1)$ y " $y\bmod 1$ "indica la parte fraccionaria de $y\in\mathbb R$ . Esta es, de hecho, la forma general de una solución.

Puede concluir que, en general $f$ está acotada, por la compacidad de $[0,1]$ .

Puede sustituir $2$ por cualquier $a>1$ , si eso se hace en su hipótesis.