¿La equivalencia de las álgebras de Lie implica la equivalencia de los grupos de Lie correspondientes?

Question

Vale, estoy confundido sobre la relación entre estos dos conceptos. Si tengo un grupo de Lie $G$ Puedo asociar un álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ tomando su espacio tangente en la identidad, con el corchete apropiado.

Ahora tengo tres preguntas (en realidad es una):

1. Digamos que tengo $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ Álgebras de Lie de dos grupos de Lie $G$ y $H$ . ¿Tiene $\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{h}$ implica $G \simeq H$ (como grupos de Lie, obviamente) ? (creo que no)

2. Ahora lo contrario: si tengo $G \simeq H$ ¿Puedo decir $\mathfrak{g} \simeq \mathfrak{h}$ ? (Creo que sí)

3. ¿Qué puedo decir en el caso uno, si la respuesta es no?

Te pongo un ejemplo: hablando de grupos de Spin, Wikipedia dice que los isomorfismos accidentales entre grupos de Spin de baja dimensión y grupos de Lie clásicos se deben a isomorfismos del sistema de raíces. Pero esas son cosas de las álgebras, no entiendo. ¿Puede alguien darme una breve visión general de esos conceptos? Gracias

Answer 1

1) fue respondida por AustinC y Mnifldz en los comentarios: hay muchos ejemplos que demuestran que la respuesta es "no".

2) Esto es cierto. La idea clave de la prueba es el siguiente lema: Cualquier homomorfismo de grupo $f:G\rightarrow H$ induce un mapa $f_\ast:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{h}$ de forma functorial. Es decir, si el homomorfismo de grupo es el mapa identidad, entonces también lo es el mapa inducido. Además, el mapa inducido de una composición es la composición de los mapas inducidos.

Suponiendo esto, supongamos $f:G\rightarrow H$ es un isomorfismo con inversa $g:H\rightarrow G$ . Entonces $g\circ f$ es la identidad en $G$ por lo que el mapa inducido es la identidad en $\mathfrak{g}$ . Por otra parte, el mapa inducido es la composición $g_\ast \circ f_\ast$ Así que $g_\ast \circ f_\ast = Id_{\mathfrak{g}}$ . Por otra parte, aplicando el mismo argumento a $f\circ g$ muestra que $f_\ast \circ g_\ast = Id_{\mathfrak{h}}$ . Esto implica que $f_\ast$ es un isomorfismo de álgebras de Lie con inversa $g_\ast$ .

3) Se puede decir mucho, pero no todo. En primer lugar, puesto que $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ se calculan utilizando el espacio tangente como identidad, son indiferentes a las componentes distintas de la componente identidad de $H$ y $G$ . (Así surge el ejemplo de Mnifldz). Pero aunque $G$ y $H$ están conectados, puede seguir teniendo $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ isomorfo sin $G$ y $H$ siendo isomórficas.

Usted puede todavía salvar algo: Si $G$ y $H$ tienen álgebras de Lie isomorfas, entonces existe otro grupo de Lie (conexo) $K$ con es cubre simultáneamente tanto $G$ y $H$ . Así que, hasta las tapas, $G$ y $H$ son los mismos. (Así es como surge el ejemplo de AustinC: $\mathbb{R}$ cubre $S^1$ .)

Como simple corolario de esto si $G$ y $H$ son simplemente conectadas, entonces un isomorfismo en el nivel del álgebra implica que $G$ y $H$ son isomorfas.

Hay algunos otros casos en los que se puede recuperar algo así. Por ejemplo, si $G$ y $H$ son grupos de Lie compactos sin centro, entonces tienen álgebras de Lie isomorfas si son grupos de Lie isomorfos.