En el grupo $S_n$ Suelo utilizar el hecho de que si $(a_1 a_2 \dots a_r) \in S_n$ es un ciclo r y $\sigma \in S_n$ entonces $\sigma (a_1 a_2 \dots a_r)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1)\sigma(a_2) \dots \sigma(a_r))$ . Mi pregunta es: ¿utiliza la convención de que las permutaciones actúan de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda?
He aquí una prueba de esta identidad:
Sea $\rho \in S_n$ sea tal que $\rho (a_i) = \rho(a_{i+1 \text{ (mod } r)})$ En otras palabras $\rho = (\sigma(a_1) \sigma(a_2) \dots \sigma(a_r))$ .
Entonces $a_i \overset{\sigma}{\longmapsto} \sigma(a_i) \overset{\rho}{\longmapsto} \sigma(a_{i+1}) \overset{\sigma^{-1}}{\longmapsto} a_{i+1} \implies \sigma^{-1}\rho\sigma=(a_1 a_2 \dots a_r)$ y $\sigma(a_1 a_2 \dots a_r)\sigma^{-1} = (\sigma(a_1) \sigma(a_2) \dots \sigma(a_r)) = \rho$ .
Aquí he utilizado la convención de que las permutaciones actúan de derecha a izquierda. Sin embargo, en la mayoría de las demás situaciones prefiero leer las permutaciones de izquierda a derecha, que es probablemente la convención más común entre los teóricos de grupos (véase aquí ).
Por coherencia, parece que debería utilizar $\sigma(a_1 a_2 \dots a_r)\sigma^{-1} = (\sigma^{-1}(a_1) \sigma^{-1}(a_2) \dots \sigma^{-1}(a_r))$ en lugar de la otra versión. ¿Estoy en lo cierto o he cometido algún error?
