El problema central no es de lógica simbólica, sino de comprender la prosa matemática ordinaria . Hacer eso es más complejo de lo que la mayoría de la gente (incluso los matemáticos) cree, porque depende mucho del contexto.
Normalmente, cuando escribimos algo de la forma
Si hay un número $x$ tal que $x^2+5x=w$ y hay un número $y$ tal que $4-y^2=w$ entonces $w$ está entre -10 y 10.
sí pretendemos afirmar que esta afirmación es cierta para cualquier valor de $w$ y entonces conviene representar simbólicamente la afirmación con un $\forall w$ . Este es especialmente el caso si lo que se escribe es algo como
Teorema 1234. Si hay un número $x$ tal que $x^2+5x=w$ y hay un número $y$ tal que $4-y^2=w$ entonces $w$ está entre -10 y 10.
Sin embargo, podemos también escribir algo como lo anterior en medio de una discusión en la que estamos ya hablando de algún $w$ . Y en ese caso el argumento de que $-10<w<10$ puede depender de algo más que ya hayamos concluido sobre este $w$ y no se afirma explícitamente..,
En este contexto es importante formalizar la demanda sin cuantificar $w$ .
La decisión no puede tomarse realmente sin conocer el contexto, y los ejercicios que te piden que hagas esa traducción sin contexto son engañosos en el mejor de los casos. Enseñar a los alumnos a ser pedantes a la hora de enunciar explícitamente las cuantificaciones está muy bien, sobre todo porque hay que ser consciente de si el $w$ pretende ser arbitraria o no, pero debería ir acompañada del reconocimiento de que la prosa matemática realmente publicada rara vez es tan pedante.
