encontrar todos los intervalos de convergencia uniforme

Question

Me gustaría encontrar todos intervalos en los que la secuencia $$ f_n = \frac{x^{2n}}{n+x^{2n}} $$

converge uniformemente.

Pude demostrar que converge uniformemente a $0$ cuando $|x|<1$ .

Pero no estoy seguro de los casos $|x|=1$ y $|x|>1$ . En estos casos converge puntualmente a $0$ y $1$ respectivamente. Pero no puedo demostrar que converge uniformemente en estos intervalos

Answer 1

Converge uniformemente a $0$ en $|x| \le 1$ porque $|f_n| \le 1/n$ allí.

Converge uniformemente a $1$ en cualquier intervalo de la forma $[1+\epsilon, \infty)$ o $(-\infty, -1-\epsilon]$ para $\epsilon > 0$ porque en esos intervalos $$\left|f_n - 1\right| = \dfrac{n}{n + x^{2n}} < n (1+\epsilon)^{-2n}$$

No converge uniformemente en $(1, \infty)$ porque para cualquier $n>2$ puede tomar $x > 1$ tan cerca de $1$ que $f_n < 1/2$ allí. Del mismo modo para $(-\infty, -1)$ .

Por supuesto, si converge uniformemente en un intervalo, converge uniformemente en cualquier subintervalo.