Por lo que n hace $|A|=n, \ A \in SL_2(\mathbb{Z})$ ?

Question

¿Podría ayudarme a comprobar lo que hace n $|A|=n, \ A \in SL_2(\mathbb{Z})$ ?

Sé que dados dos valores propios $\alpha, \beta$ de un $2 \times 2$ matriz $A$ , $A^n = \alpha ^n (\frac{A-\beta I}{\alpha - \beta}) + \beta^n (\frac{A - \alpha I}{\beta - \alpha})$ para $\alpha \neq \beta$ y $A^n = \alpha ^{n-1} (nA - (n-1) \alpha I)$ si $\alpha = \beta$ . (Teorema de Cayley - Hamilton)

He determinado los valores propios de esta matriz, teniendo en cuenta que su determinante es $1$ pero no tengo ni idea de qué hacer a continuación.

¿Podría sugerirnos otra forma de enfocar este problema?

Gracias por todas sus sugerencias.

Answer 1

El polinomio ciclotómico $\Phi_n(x)$ es, por definición, el polinomio cuyas raíces son las primitivas $n$ raíces de la unidad. Si el polinomio característico de la matriz $A$ es $\Phi_n(x)$ (o un producto de polinomios $\Phi_n(x)$ para uno o varios valores de $n$ ), entonces tendremos $A^n=1$ (o $A^m=1$ donde $m$ es el mínimo común múltiplo de los valores de $n$ ). Por eso nos interesan los polinomios ciclotómicos. Sólo nos interesan los de grado 1 y 2 porque el polinomio característico de a $2\times2$ matriz tiene grado 2, por lo que no aparecerá nada más grande.

Como se ha dicho (pero creo que no demostrado, en los comentarios), los únicos polinomios que cumplen los requisitos son $\Phi_1(x)=x-1$ , $\Phi_2(x)=x+1$ , $\Phi_3(x)=x^2+x+1$ , $\Phi_4(x)=x^2+1$ y $\Phi_6(x)=x^2-x+1$ . Así que tu trabajo es encontrar, para cada uno de estos polinomios, un $2\times2$ matriz entera cuyo polinomio característico es ese polinomio ciclotómico (o una potencia del mismo).