¿Cómo demuestro que las siguientes matrices generan $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$
$\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ o $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \\ \end{pmatrix}$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
azimut
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Sea $G$ sea la amplitud de las matrices $$ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} $$ con $a\in \mathbb R$ .
Tenemos $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \in G $$ y para todos $a\in \mathbb{R}^\times$ $$ \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a^{-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix} \in G $$
Ahora, mediante una eliminación de Gauss ligeramente modificada, cualquier matriz $A\in \operatorname{SL}_2(\mathbb R)$ puede transformarse en la matriz unitaria utilizando las matrices anteriores. Así, $G = \operatorname{SL}_2(\mathbb R)$
