Número previsto de parejas de animales restantes

Question

Supongamos que Noé empezó con $n$ parejas de animales en el arca y que $m$ animales murieron. Si los $m$ animales se eligieron al azar, ¿cuál es el número esperado de parejas completas que quedan?

Mi intento: Animales totales: $2n$

Probabilidad de morir: $\frac{m}{2n}$

La probabilidad de que un par $X_i$ se deja intacto es $$\left(1-\frac{m}{2n}\right)^2,$$ por lo que el número esperado de pares restantes es $$n\left(1-\frac{m}{2n}\right)^2$$

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

La probabilidad de que ambas jirafas sobrevivan es la probabilidad de que la primera muerte no sea una jirafa, multiplicada por la probabilidad de que la segunda muerte no sea una jirafa, y así sucesivamente hasta que la probabilidad de que la $m$ -la muerte no es una jirafa:

$$P(\hbox{lucky giraffes})=\frac{2n-2}{2n}.\frac{2n-3}{2n-1}\cdots\frac{2n-m-1}{2n-m+1}=\frac{(2n-m)(2n-m-1)}{2n(2n-1)}$$

Este es, pues, el número esperado de parejas de jirafas que sobrevivirán. Por simetría, también es el número esperado de parejas de ornitorrincos que sobreviven, y así sucesivamente. El número total esperado de parejas que sobreviven es entonces $n$ veces ese número.

Divulgación: He tomado mucho prestado de esta pregunta ¡aunque no entiendo la respuesta completa!

Answer 2

Para un par determinado, hay $\binom{2n-2}{m}$ acuerdos de $m$ muertes que dejen en paz a ese par. Hay $\binom{2n}{m}$ acuerdos de $m$ muertes. Por lo tanto, la probabilidad de que una pareja determinada sobreviva es $$\frac{\binom{2n-2}{m}}{\binom{2n}{m}}$$ Así, por linealidad de la expectativa, el número esperado de parejas supervivientes es $$n\frac{\binom{2n-2}{m}}{\binom{2n}{m}}$$

Answer 3

Su respuesta para la probabilidad de que un par $X_{i}$ requiere una pequeña corrección, ya que las probabilidades no son independientes.

La probabilidad de que el primer animal de la pareja quede intacto es $\left(1-\frac{m}{2n}\right)$ .

Ahora, la probabilidad de que el segundo animal de la pareja sea $\left(1-\frac{m}{2n-1}\right)$ ya que ahora sabemos que la primera ya estaba intacta. Ahora, al multiplicarlas obtenemos la intersección, es decir $$Pr[X_{i}\text{ is left intact}]=\left(\frac{(2n-m)(2n-1-m)}{(2n-1)(2n)}\right)$$ Que es lo mismo que en el argumento combinatorio. Ahora la expectativa es n veces la probabilidad, como se ha explicado anteriormente.