¿cómo probarías que $2\sqrt5 +\sqrt{11}$ ¿es irracional? Empecé con una prueba por contradicción que asume que $2\sqrt5 +\sqrt{11}$ es racional y por tanto existen enteros $a$ y $b$ tal que $\frac{a}{b}=2\sqrt5 +\sqrt{11}$ y elevando ambos lados al cuadrado se obtiene $\frac{a^2}{b^2}=31 +4\sqrt5\sqrt{11}$ y desde este punto estoy atascado ya que no se como continuar para llegar a una contradicción.
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jwarzech
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He aquí un enfoque más avanzado, con algunos detalles comunes a los anteriores.
Un polinomio mónico con coeficientes enteros:
$$ (x^2 - (2\sqrt 5 + \sqrt{11})^2)(x^2 - (2\sqrt 5 - \sqrt{11})^2) = x^4 - 62x^2 +81 $$
Ahora $x = 2\sqrt 5 + \sqrt{11}$ es una raíz de este polinomio, pero según el Thm. de las raíces racionales, cualquier raíz racional sería un divisor entero de $81$ .
Por lo tanto, sólo hay que comprobar que $2\sqrt 5 + \sqrt{11}$ no es un número entero. Un simple cálculo manual (o con calculadora) muestra que este número positivo se encuentra estrictamente entre $7$ y $8$ .
spaceisdarkgreen
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Sólo tiene que demostrar que $\sqrt{55}$ es irracional ya que $a+bc$ es irracional siempre que $a,b$ racional (y $b\ne 0)$ y $c$ irracional. Esto produce una contradicción. Para demostrar $\sqrt{55}$ es irracional, existe una famosa prueba basada en el teorema fundamental de la aritmética de que la raíz cuadrada de cualquier número natural no cuadrado perfecto es irracional (o se puede hacer una prueba ad-hoc, similar a la prueba de que $\sqrt{2}$ es irracional).
fleablood
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Si $2\sqrt{5}+ \sqrt{11}=r$ es racional, entonces $4*5 + 4*\sqrt{55} + 11 = r^2$ es racional. Entonces $\sqrt{55} = \frac {r^2 - 31}4$ es racional.
AHORA hacer la prueba por contradicción
Sea $\sqrt{55} = \frac ab$ así que $55b^2 = a^2$ así que $5|a$ y así $25|a^2$ así que $5|b^2$ así que $5|b$ así que $a$ y $b$ no están en los términos más bajos.... yadda, yadda, yadda....
