Tengo una tarea llena de preguntas como éstas, y sé que usando alguna sustitución adecuada como reemplazar $x$ avec $(x-1)$ y simplificándola, podré llegar a un punto en el que las ecuaciones se reduzcan a $f(x)=f(x+T)$ donde "T" es el periodo fundamental.
Pero no se me ocurre ninguna sustitución inteligente, y cualquier sustitución que pruebo sólo complica aún más la cuestión.
¿Cómo puedo saber cuál es la mejor sustitución para una pregunta de este tipo?
Voy a describir lo más general $f$ que satisface la ecuación funcional dada $$f(x-1)+f(x+3)=f(x+1)+f(x+5)\ .\tag{1}$$
Sea $$g(x):={1\over2}\bigl(f(x)+f(x+4)\bigr)\ .\tag{2}$$ Entonces de $(1)$ se deduce que $$g(x-1)=g(x+1)\ ,$$ de donde $g$ tiene que ser periódica de período $2$ . Supongamos ahora que tal $g$ se da. Entonces, según $(2)$ la función $f$ tiene que cumplir la ecuación funcional no homogénea $$f(x)+f(x+4)=2g(x)\ .\tag{3}$$ Según los principios generales del álgebra lineal, la solución general de $(3)$ a partir de una solución concreta $f_p$ de $(3)$ y la solución general de la ecuación homogénea asociada $$f_h(x)+f_h(x+4)=0\ .\tag{4}$$ Desde $g$ es periódico de período $2$ la función $f_p(x):=g(x)$ es obviamente una solución particular de (3).
Ahora $(4)$ dice que $f_h$ es periódico de período $4$ hasta un cambio de cartel. De ello se deduce que la función $h(x):=e^{-i\pi x/4}f_h(x)$ es periódico de período $4$ .
Juntando todo vemos que cualquier solución de $(1)$ es necesariamente de la forma $$f(x)=g(x)+e^{i\pi x/4}\>h(x)\ ,\tag{5}$$ donde $g$ es de período $2$ y $h$ es de período $4$ . A la inversa, es fácil comprobar que cualquier $f$ dada por $(5)$ donde $g$ y $h$ son como se describe, es una solución de $(1)$ . En particular, todas las soluciones de $(1)$ tienen periodo $8$ .
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