He visto "cálculo avanzado" como requisito previo a algunos cursos. ¿A qué se refiere la gente cuando dice eso?
P.D. Hay una pregunta relacionada aquí pero quería preguntar una más centrada.
Edición: Se me ocurre que no he respondido completamente a la pregunta en el OP, así que he incluido algunos detalles más ahora.
El cálculo se enseña en Estados Unidos (y quizá en otras partes del mundo) en varios "pases", con un rigor y un alcance cada vez mayores. El orden exacto de los enfoques varía de un lugar a otro, pero estos diferentes viajes a través de la teoría del cálculo tienen todos algunas cosas en común.
1) Cálculo ingenuo: Se trata de un cálculo muy basado en el cálculo y la aplicación. Los estudiantes ven los límites en términos de tablas de valores y la idea de "acercarse pero no tocar". Calculan tantas derivadas e integrales que les sangran los ojos. Ves cosas como tasas relacionadas, aplicaciones a la física, longitud de arco, volúmenes de revolución, etc. Estas son las aplicaciones "fáciles" del cálculo que puedes hacer sin mucha teoría.
Algunos libros estándar para el cálculo ingenuo que me gustan son Calculus Deconstructed, de Nitecki (espero haberlo escrito bien), el libro de Simmons, Calculus with Analytic Geometry. El primero está dirigido mucho más a los matemáticos, mientras que el segundo es un libro gigantesco que también es útil en multivariable. Incluye muchas aplicaciones. Las demostraciones de los teoremas clave están en los apéndices, lo cual es agradable.
2) Cálculo multivariable: Este es el cálculo en el que todo el material de la sección "ingenua" se generaliza a varias variables. Se hacen integrales más complicadas, se aprenden las derivadas parciales y la regla de la cadena para varias variables. Se hace cierto hincapié en la geometría en el sentido de los vectores, las superficies y quizás algo de álgebra lineal introductoria, pero el grueso de la teoría queda fuera.
Ambas clases son el tipo de cosas que los nuevos estudiantes toman en sus primeros años en las matemáticas. Probablemente estén dirigidas a ingenieros o físicos más que a aspirantes a matemáticos.
No conozco ningún libro con el que esté realmente contento que sea "ingenuo" en el sentido de (1) pero que cubra las multivariables aparte del libro de Simmons de arriba. Supongo que Larson es la referencia estándar.
Lo que sigue es un material que es más probable que sea "cálculo avanzado".
3) Análisis elemental - límites de secuencias, series, topología de los reales, funciones, continuidad, etc. La mayor parte del curso se centra en estos temas "fundamentales" del análisis. La idea es averiguar qué es lo que hace que los teoremas funcionen, más que demostrar los teoremas, ya que a estas alturas, los estudiantes han visto el teorema del valor intermedio antes, pero como probablemente nunca han oído hablar de un "supremum" no están en condiciones de demostrarlo.
El libro de Ross "Análisis elemental" es bastante compacto, cubre todo lo importante, en mi opinión, aunque es un poco básico. Baby Rudin es la referencia estándar para la gente que está preparada para el desafío.
4) Análisis multivariable - Una generalización rigurosa del material de (3). Ciertamente incluye una cantidad sustancial de álgebra lineal y topología de espacios métricos, y cosas como un tratamiento riguroso del jacobiano y su significado, el teorema de Taylor en varias variables, los teoremas de la función inversa e implícita, el teorema de Stoke, etc. Esto es lo que llamamos "cálculo avanzado" en mi escuela.
El libro que utilizan en mi escuela es "Analysis on Manifolds" de Munkres, que en realidad no trata tanto de los colectores, sino de las herramientas utilizadas en el estudio de los colectores, que luego aplicarías en un entorno más sofisticado. Me gusta este texto. Una mención de honor en la categoría de análisis es la secuencia de dos volúmenes de Zorich llamada "Mathematical Analysis", que cubre tanto (3) como (4). En cierto sentido, se trata de una serie interesante porque asume que el lector no sabe nada, e incluye muchas aplicaciones, pero es ciertamente rigurosa, e incluye teoremas clave en el desarrollo de los números reales. Entre ambos volúmenes, también profundiza bastante, no tanto como Munkres, pero también incluye una variedad de temas que no se encuentran en el libro de Munkres y que son realmente interesantes por sí mismos, como cosas de ecuaciones diferenciales y series de Fourier.
5) Teoría de la medida(?) - Podría incluirse en ese ámbito. Normalmente se refiere al estudio de la medida y la integral de Lebesgue, como una generalización de la integración de Riemann con la que la gente está familiarizada.
El libro de introducción en mi escuela es Capinski. No me gusta este libro. Me parece muy poco motivador y quizás difícil de leer... demasiados cálculos y poca intuición para mí, especialmente porque el análisis es un punto débil para mí. Prefiero el libro de Royden. Este es un buen texto porque (a) incluye todas esas piezas de intuición que me faltan y que realmente necesito, (b) empieza con la medida de Lebesgue pero finalmente pasa a las medidas generales, todo ello mientras (c) introduce al lector en una colección realmente agradable de otras cosas interesantes en el análisis, especialmente los elementos del análisis funcional.
La medida es una especie de puente entre el trabajo de grado y el de posgrado, así que todo lo que viene después está en otro nivel, y probablemente no sea tanto "cálculo avanzado" como "análisis" propiamente dicho. Hemos estado diciendo "análisis" todo este tiempo, pero realmente lo que significa en los estudios de grado parece ser "la teoría del cálculo de una o más variables". Una referencia estándar es algo como el libro de Folland.
Dependiendo del contexto, no es del todo descabellado pensar que el "cálculo avanzado" se refiera al cálculo sobre colectores, que se refiere a tomar las ideas de (4) y transferirlas a entornos más abstractos donde se pueden desarrollar herramientas geométricas más potentes. Pero, de nuevo, estas ideas entran realmente en el nivel de posgrado que es más "análisis" o incluso geometría que "cálculo avanzado".
En mis estudios, el camino que tomé fue (1) -> (3) -> (2) -> (5) -> (4), lo cual es un poco no estándar, creo, pero hago mucho autoestudio, así que recogí cosas de forma dispersa, y las he estado ensamblando en mi cerebro desde entonces. Creo que el orden en que las enumeré es probablemente un poco más estándar, aunque creo que la gente probablemente estudie la teoría de la medida antes de preocuparse por algunas de las cosas que enumeré en (4). Todo se reduce a cuál es el contenido exacto de los cursos.
Aquí está mi boletín de licenciatura. Los cursos corresponden aproximadamente a
1: MAT 131/132. 2: MAT 203 3: MAT 319/320 4: MAT 322 5: MAT 324
http://sb.cc.stonybrook.edu/bulletin/current/courses/mat/
Lo siento si parece que divago sobre los libros en algunos lugares - soy un acaparador de libros. Espero que esto ayude a responder más completamente a tu pregunta.
Ah, "boletín", esa es otra de las palabras mágicas. Buena reflexión. (Además de un muy buen resumen)
En la mayoría de las universidades, el cálculo avanzado es una versión un poco más "accesible" del análisis real, muy raramente tan sofisticado como un curso de cálculo sobre variedades.
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Por lo general, sólo se trata de análisis de grado. Es decir, construcción de reales, secuencias, límites, derivadas, integración de Riemann, series, etc.
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Como indica la respuesta de su enlace, no hay mucho acuerdo sobre lo que implica exactamente el "cálculo avanzado"
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Puede hacerse una idea de los puntos comunes y las diferencias buscando en Google
course catalog "advanced calculus". Por ejemplo, en Madison Wisconsin , en Rutgers , en el Universidad de Akron etc.